Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Просто-периодическое основное движение.

Будем опять исходить из возмущающей функции § 2, (10), но предположим, что невозмущенное движение является просто-периодическим, следовательно и введем опять в переменные В таком случае выражение энергии в первом

приближении представляется формулой § 3, (20), где вычисляется из второго выражения для в § 3, (20), в котором можпо рассматривать как гамильтонову функцию механической задачи и ввести соответствующие переменные Если мы обозначим через численное значение В, определяемое значениями при невозмущенном движении и остающееся постоянным в течение всего векового возмущения, то дифференциальное уравнение в частных производных Гампльтона-Якоби

может быть решено методом разделения переменных, так как в него входит одна единственная координата положения Согласно гл. II, § 5, 1 и 3, уравнение (6) можно решить относительно . При этом мы получим:

если мы напишем ту ветвь функции, которая при обращается в нуль. Определим при этом, соответственно § 3 (14), (15), касательное преобразование с характеристической функцией

При этом нужно принять во внимание, что мы найдем как функцию от согласно гл. II, § 5, (36), подставляя там вместо вели чипы тогда как будут входить теперь только в комбинации Таким образом, мы получим:

Из первого уравнения следует Если вставить это во второе уравнение и решить его относительно то мы получим как функцию от следовательно искомую функцию Явное вычисление В удается только в том случае, когда и мало по сравнению с Тогда, согласно (6), также мало по сравнению с и мы можем разложить подинтегральную функцию в (9) по степеням этих малых величин. Тогда мы получим:

где контурные интегралы преобразованы в обычные интегралы. На основании легко получающейся формулы

и той, которая получается из нее дифференцированием по а, мы получим из (10):

Если обозначить через приближенное значение которое мы получим, если, оставив в (9) справа членов, решим относительно и удержим члены,

до степени относительно то второе приближение которым мы удовлетворимся при вычислении имеет вид:

Так как, согласно § 3 (20) и (15), нужно просто подставить в (10)

чтобы получить окончательную формулу, то мы получим выражение энергии, обозначая опять через и (без штриха) соответствующие переменные действия:

Если мы желаем вычислить интеграл по контуру в (9), ничего не отбрасывая, то необходимо принять во внимание следующее. Если квадратный корень в (7) имеет вещественное значение для всех значений (между то и принимает опять свое первоначальное значение, когда увеличивается на следовательно, интеграл по контуру в (9), также как и в (10), надо вычислять по от до Очевидно, этот случай (случай "периодичности", так как и при этом есть периодическая функция от ) имеет место только тогда, когда подкоренная функция в (7) неотрицательна даже при

Это имеет место, например, во всех тех случаях, когда очень мало, как в случае (10). Если, наоборот, больше, чем требует неравенство (15), то для получается определенное предельное значение, дальше которого оно не может увеличиваться, так как и перестает быть вещественным. Это предельное значение определяется формулой:

Из (16) для получаются два значения: между которыми должно изменяться для того, чтобы и оставалось вещественным. Интеграл по контуру в (9) необходимо брать между обоими нулями подкоренной функции, причем в одном направлении с положительным корнем, а в другом — отрицательным.

Поэтому (9) может быть написано:

Здесь мы имеем случай качания или "либрации". Из вытекает, что выбор может влиять на периодичность или либрацию.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление