Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Введение угловых переменных и переиенпых действия.

Попытаемся теперь ввести такие угловые переменные и переменные действия, которые соответствуют нашей механической задаче (т. е. ее гамильтоновой функции). В этом случае величины должны оставаться постоянными при кеплеровом движении, а величины относительно которых координаты положения периодичны, меняться линейно со временем. Согласно гл. II, § 5, (36), величины получаются из выражений для которые в свою очередь получаются по методу разделения переменных, т. е. в нашем случае из выражений II, § 5, (27)

При этом значения постоянных получаются по формулам гл. II, § 5, 4, с помощью уравнения (6) в виде:

Следовательно, величины могут быть выражены через энергию, момент количества движения и наклонность орбиты. Если мы вставим значения (8) в (7), введем в формуле для в качестве новой переменной величину обратную радиусу и разложим выражение под корнем на линейные множители, то мы получим:

Так как есть наибольшее, а наименьшее значение которых наша материальная точка действительно достигает, то, согласно (3) и (9):

Интеграл в (9) мы преобразуем посредством интегрирования по частям. При этом:

При вычислении интеграла по контуру в (9) члены в квадратных скобках при подстановке пределов интегрирования выпадают (так как верхний и нижшгй пределы совпадают), и мы получим:

Введем теперь, также как и в гл. IV, § 2, (14), вспомогательную переменную а с помощью соотношения:

Тогда из (10а) получается:

причем в заключение была использована интегральная формула гл. V, § 4, (11). В таком случае из и (10) следует:

Для вычисления и лучше всего применить соотношение вытекающее из (5). Если в обеих частях применить интегрирование по контуру, то из (7) следует: Но так как из последнего уравнения (7) сразу следует то мы получим с помощью (8):

Решая (11), (12) относительно мы получим:

Отсюда, согласно. (8), вытекают выражения для Если мы вставим их в формулы для то мы получим из, гх II, § 5, (28) функцию из которой получается, согласно гл. II, § 5, (39), касательное преобразование, вводящее соответствующие неременные Так как выражение энергии через эти величины определяется формулой (13), то мы получаем из гл. II, § 6, (8) для трех основных частот равенство: Следовательно, между ними имеют место два различные соотношения вида гл. II, § 6, (10), а именно Следовательно, наша система двукратно вырождена; вследствие этого, так как она имеет три степени свободы, то она в точности однократно периодична. Поэтому посредством канонического преобразования вида гл. II, § 6, (12), (13а) можно ввести новые угловые переменные и переменные действия таким образом, чтобы из первых: только было бы "собственной" угловой неременной. Сопряженные величины можно обозначить через Положим:

Эти уравнения имеют вид гл. II, § 6, (13а). Так как, согласно (13), (14), энергия, которую мы в новых переменных опять обозначим просто через зависит только от то только угловая переменная, сопряженная является ственной. Мы вычислим непосредственно вводя в функцию в гл. II, § 5, (28) величины с помощью (8), (13), (14). Тогда, согласно гл. II, § 5, (39), угловые переменные получают вид:

Так как нижние пределы интегралов произвольны, то мы могли для них подставить подходящие частные значения; есть расстояние перигелия. Если

мы вычислим из (15) и (16) и разложим полином под знаком квадратного корня на линейные множители, то мы получим:

При этом представляют наименьшее и наибольшее значения, которые принимает при движении, т. е. расстояния перигелия и афелия, следовательно, в силу (3)

Для вычисления (17) мы опять введем вспомогательный угол а, который возрастает от до когда изменяется между

В таком случае мы получим из (17):

где вместо подставлено его выражение через а, получающееся из (14), (13), (10). Единственная собственная угловая неременная растет, согласно § 5 (23), по закону:

причем есть время прохождения перигелия, а - период обращения. В астрономии обычно называют а эксцентрической аномалией, средней аномалией, а средним движением. Несобственные угловые переменные остаются при движении постоянными. Следовательно, если их вычислить с помощью дифференцирований то их значения не меняются, если после дифференцирования в выражение для вставить вместо и их значения для перигелия где есть полярное расстояние перигелия), а в выражение вместо их значения для восходящего узла Если принять в расчет соотношения (14), (12), (6), то мы получим:

Следовательно, несобственные угловые переменные представляют собой в основном, если мы применим обозначения 1, долготу перигелия и долготу восходящего узла. Введенные таким образом часто называются элементами орбиты Делон Они в астрономии обозначаются чаще всего буквами Так как в планетной системе наклонность и эксцентриситет орбит представляют малые величины, то то же самое имеет место для разностей что следует из (14), (13), (11). Поэтому естественно, для того чтобы получить удобные разложения в ряды, ввести новые канонические переменные:

При этом соответствующие угловые переменные должны удовлетворять тождеству В таком случае из (23) следует:

Здесь опять только является собственной угловой переменной. Вместо шести составляющих координат и скоростей (например, в декартовой системе ) каждое состояние материальной точки может быть определено также с помощью шести канонических переменных Это пять постоянных траектории, которую опишет материальная точка, если в рассматриваемый момент ее подвергнуть действию силового поля (1), и шестая постоянная — угол который определяет положение точки на эллипсе, "средняя долгота". Эти шесть величин называют каноническими элементами кеплерова движения оскулирующего по отношению к рассматриваемому движению. Выразим их в заключение через эллиптические элементы орбиты, введенные в 1 и имеющие непосредственное геометрическое значение. Из (24), (23), (22), (21), (14), (12), (11) вытекает:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление