Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Возмущенное движение Кеплера

1. Случай центральной возмущающей силы.

Если мы предположим, что кроме ньютоновой силы § 1,(1) действует еще возмущающая сила, потенциал которой есть заданная функция от то мы получим возмущающую функцию вводя в канонические переменные § 1, (25), соответствующие невозмущенной системе, движению Кеплера. Если мы разложим в точке а по степеням и ограничимся только членами первой степени, то из § 1, (39) получится:

где для а везде нужно вставить его значение, выраженное через по § 1, (38). Уравнение (1) соответствует общей формуле гл. V, § 1,(34). Для вековой части В возмущающей функции к которой относятся все члены, не содержащие из (1) следует:

В таком случае из теории гл. V, 3 следует, что не может испытывать никаких вековых возмущений. Дифференциальные уравнения для вековых возмущений величин их, согласно гл. V, § 1, (41), имеют в нашем случае по (2) вид:

Так как, еогласно § 1, (38) заданием определяются также величины то при возмущении центральной силой эллипс Кеплера сохраняет в среднем за период свою величину и форму. Он испытывает только как целое медленные вековые изменения положения. Действительно, из первого уравнения (3) следует:

Так как, согласно § 1, (25), то линия апсид эллипса Кеплера (направление на перигелий) испытывает медленные вращения с угловой скоростью о, движение перигелия. При этбм остаются постоянными, так как они совсем не входят в В. Так как центральная сила ни в коем случае не может вывести массу из плоскости эллипса Кеплера, то элементы орбиты определенные величинами не могут изменяться. Легко видеть, что а только в том случае может совсем (т. е. для всех значений а) исчезнуть, когда есть потенциал ньютоновой силы, т. е.

Чтобы вычислить "выражение энергии" в смысле гл. V, § 3, (20), мы должны принять в расчет, что вместо нужно вставить выражение энергии

невозмущенного движения из § 1, (13), выраженное однако, согласно § 1,(14) и (23), через Вместо В нужно вставить из (2), которое уже без дальнейших преобразований зависит только от переменных действия Таким образом, мы получаем:

Здесь нужно для а вставить из (4) и § 1, (38) его выражение как функцию от

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление