Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Приведение задачи трех тел.

Совершенно аналогичные соображения можно применить и в том случае, когда три массы притягивают друг друга по закону Ньютона. Обозначим эти массы через прямоугольные координаты первой точки через второй через третьей через Расстояния масс друг от друга равны

и аналогично выражаются При этом гамильтонова функция имеет вид:

При помощи касательного преобразования можно получить из (6) гамильтонову функцию простой механической системы. Мы введем в качестве новых координат относительные координаты второй массы по отношению к первой; относительные координаты третьей массы по отношению к центру инерции первой и второй; наконец координаты центра инерции всех трех масс в инерциальпой системе. Следовательно:

Для мы тогда получим аналогично 1:

Если обозначить расстояние третьей массы от центра тяжести обеих первых через мы получим, вставляя (7) и (8) в (6) и затем прибавляя и вычитая

Здесь скрытые координаты, что можно видеть, либо вычисляя с помощью (7), либо без вычислений из того, что являются составляющими иолного импульса системы, остающегося при движении постоянным. В уравнениях движения со значками от 1 до 6 величины совсем не входят; следовательно, при их составлении из 11 можно в (9) отбросить второй член и мы получим тогда механическую систему только с шестью степенями свободы. Если предположить, что масса очень велика по сравнению с то мы приходим к задаче о движении двух планет около солпца (задаче трех тел) и можем применить методы теории возмущений, изложенные в гл. V, § 1. Если мы, например, положим, что масса солнца то будут малыми величинами. Так как в таком случае центр инерции Очень близок в то очень мало отличается от Так как легко убедиться, что есть величина малая порядка то должно быть малой порядка и мы получим, вводя малый параметр для вид где конечно. В таком случае (отбрасывая второй член) мы можем переписать (9) под видом:

Но очевидно, что и гамильтоновы функции движений Кеплера (§ 1). Если мы будем считать гамильтоновой функцией "невозмущенного движения", то метод § 1 дает возможность ввести соответствующие ей канонические неременные. А именно, так как содержит только наоборот, только то уравнения движения, соответствующие распадаются на две системы по шести уравнений. Каждая из этих систем имеет решением движение Кеплера, причем то, которое соответствует получается из рассмотренного в § 1, если в § 1, (1), (4) положить то, которое соответствует получается из того же движения,

если положить Следовательно, невозмущенное движение заключается в том, что первая планета описывает эллипс Кеплера, в фокусе которого находится солнце, и из эллиптических элементов этой орбиты могут быть вычислены по § 1, (25) "канонические элементы" если положить а вторая планета описывает эллипс Кеплера около общего центра инерции солнца и первой планеты, как фокуса, и из эллиптических элементов орбиты этого эллипса можно вычислить "канонические" по § 1, (25), если положить Так как при этом, по § 1, 3, прямоугольные координаты положения, а следовательно также и расстояния могут быть выражены, как функции двенадцати канонических элементов, а в входит только только [см. § 1 (13), (14), (23)], то гамильтонову функцию задачи трех тел можно, согласно (9), (10), (11), привести к виду:

Но это в точности вид, из которого мы исходили в теории возмущений гл. V, § 1, (14). Из выражения в (9) можно вывести разложение возмущающей функции, аналогичное гл. V, § 1, (15), с помощью которого можно составить двенадцать дифференциальных уравнений гл. V, § 1, (16). В небесной механике эксцентриситеты и наклонности орбит планет считаются малыми, что приводит к малым значениям также и для так что коэффициенты тригонометрического разложения возмущающей функции гл. V, § 1, (15) также могут быть разложены по степеням так что для теории вековых возмущений может быть применен метод, изложенный в заключении гл. V, § 1, 4.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление