Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Квазнстатические орбиты в случае плоской задачи трех тел.

Если мы будем рассматривать только движение трех тел в плоскости, а именно в плоскости и обозначим массы через их прямоугольные координаты через соответствующие составляющие импульса через далее, предположим, что общин центр инерции трех масс покоится, следовательно то может быть написано аналогично (6):

где через V обозначена потенциальная энергия и

Так как момент количества движения массы по отношению к началу координат определяется, согласно гл. II, § 6, (4), выражением — и сумма моментов количества движения всех масс должна быть постоянной, то есть интеграл системы, который после введения относительных координат

масс относительно и принятия в расчет соотношений может быть написан следующим образом:

Движения наших трех масс, квазистатические относительно интеграла (14), могут быть найдены по гл. III, § 1, (19). Так как то мы получаем восемь уравнений вида они дают независимых соотношений между основными величинами. Если мы составим сначала восемь уравнений, которые могут быть объединены в равенстве где надо вставить из (13), из (14), то они примут вид:

Если принять во внимание, что по определению составляющих обобщенного импульса то уравнение (15) можно написать так:

Отсюда после умножения соответственно на и сложения вытекает следовательно, постоянство Взаимное расстояние трех масс остается при движении постоянным; они движутся как неизменяемый треугольник. Если мы введем полярные координаты то вследствие постоянства вставляя в (17), мы получим т. е. треугольник вращается с постоянной угловой скоростью X около своего центра инерции. Если мы вычислим величины из (16) и вставим в (15), то мы получим:

Если обозначить расстояние через А, то, согласно (6):

и мы получим, подставляя (19) в первое уравнение (18), при

Уравнения (20) представляют собой два линейные однородные уравнения для Подставляя (19) во второе уравнение (18), мы увидим, что должны удовлетворять тем же уравнениям (20). Следовательно, мы должны найти

две системы решений (20). Если вообще существуют отличные от нуля решения, то определитель коэффициентов должен обращаться в нуль (т. е. его ранг должен быть меньше 2).

При этом нужно еще различать два случая, смотря но тому, равен ли этот ранг нулю или единице.

Первый случай. Имеются два различные решения, т. е. векторы совпадают по направлению, три массы действительно образуют треугольник. Так как определитель имеет ранг нуль, то все его элементы должны равняться нулю. Это дает:

Три массы образуют равносторонний треугольник, вращающийся с угловой скоростью, квадрат которой обратно пропорционален третьей степени расстояния масс, совершенно аналогично третьему закону Кеплера в случае простого движения Кеплера [§ 1, (21)].

Второй случай. Имеется (с точностью до общего постоянного множителя) только одна система решений. Векторы совпадают; три массы лежат на одной прямой; отношение их расстояний может быть вычислено из равенства нулю определителя уравнений (20), так же как и их угловая скорость, но мы здесь не будем этим заниматься.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. V и VI

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление