Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Одноосные кристаллы.

Одноосный кристалл характеризуется тем, что в нем показатель преломления зависит только от направления луча причем существенным является только угол между лучом и некоторым определенным выделенным в кристалле направлением. Обозначим единичный вектор в этом направлении, т. е. в направлении оси кристалла, через а, а какой-нибудь единичный вектор, перпендикулярный к оси кристалла, через Тогда зависимость показателя преломления от направления луча для "необыкновенного" луча определяется уравнением

Здесь и есть постоянные, характерные для рассматриваемого кристалла; полагая равным а или легко видеть, что есть показатель преломления для лучей, распространяющихся вдоль оси, т. е. для лучей, параллельных оси, а — показатель преломления для лучей, перпендикулярных к оси. Легко также видеть, что функция от составляющих есть однородная функция первого порядка, откуда следует, что вектор нормали есть однородная функция от тех же составляющих нулевого порядка. Поэтому функция у удовлетворяет уравнению Эйлера и вектор нормали, согласно § 1 (40), можно просто вычислить по формуле:

Произведя дифференцирование, мы получим из уравнения (17):

Это выражение, действительно, нулевого порядка однородности относительно составляющих исключая два соотношения между тремя составляющими, можно получить одно уравнение для трех составляющих

Для одноосных кристаллов составляющие, перпендикулярные к оси, равноправны, поэтому можно рассмотреть одну единственную плоскость, проходящую черев ось, например, плоскость, определяемую векторами и таким образом, ограничиться исследованием составляющих и в направлениях Таким путем мы найдем :

Исключим из обоих равенств отношение Для этого возведем уравнения (20) в квадрат и разделим их соответственно на Принимая во внимание уравнение (17), мы получим:

Левая часть, как функция от представляет собой функцию Гамильтона введенную нами в § 1, уравнение (47), с точностью до некоторого множителя, который мы обозначим через

Поэтому из уравнения (69) или (52) § 1 для единичного вектора светового луча получается выражение:

где вычисляется из условия Итак, окончательно:

Теперь легко также вычислить волновую скорость для любого направления распространения Из уравнения (21), в связи с уравнением (44) § 1, следует; что скорость с которой распространяется волна с нормалью определяется равенством:

Из уравнения (21) и § 1, (58) мы сразу получаем дифференциальное уравнение в частных производных для функции эйконала нашей задачи. Оно имеет вид

Чтобы выразить это уравнение в обычно применяемом координатном представлении, введем систему координат с осью, параллельной оси кристалла, так что вектор а направлен по оси а вектор лежит в плоскости х, у. Тогда

Уравнение эйконала при этом получает вид:

При исследовании световых лучей в кристалле, необходимо учитывать, что так и не зависят от Отсюда, согласно § 1, (66) или (69), следует, что вектор вдоль светового луча постоянен. Но так как, на основании (28), вектор зависит только от то он также постоянен, и, следовательно, световой луч представляет собой прямую линию. Исследуем теперь явление преломления светового луча, попадающего из воздуха в одноосный кристалл. Предположим, что граничная плоскость расположена относительно оси кристалла таким образом, что ось кристалла образует с нормалью в точке падения угол а. На рис. 2 изображен разрез кристалла плоскостью, проходящей через нормаль в точке падения и ось кристалла, причем эти линии проведены черев ту точку, в которой световой луч проходит через границу. Падающий луч также должен лежать в этой плоскости; из соображений симметрии и преломленный луч должен лежать той же плоскости. Если обозначить векторы нормалей в воздухе и в кристалле соответственно через векторы соответствующих лучей через и единичный вектор, тежащий в плоскости равдела обеих сред, через можно воспользоваться законом преломления, сформулированным при помощи уравнения (2). В рассматриваемом случае, на основании уравнения (4), мы получим:

Таким образом, закон преломления, выражаемый уравнением (2), примет вид:

Рис. 2.

Эта формула верна для каких угодно направлений векторов Если теперь принять, что все эти векторы лежат в одной плоскости, о чем уже упоминалось выше, то в качестве такой плоскости можно выбрать плоскость, изображенную На рис. 2. Обозначая углы падения и преломления нашего луча соответственно через и пользуясь уравнением (2), мы получим следующие соотношения:

В этом случае наш закон преломления, выраженный уравнением (28), принимает вид:

Закон преломления имеет особенно простую форму в том случае, когда поверхность раздела перпендикулярна к оси кристалла. Тогда и мы получаек из уравнения (29):

Возводя это уравнение в квадрат и выражая через мы получим:

Введен теперь обозначения:

Тогда уравнение (31) можно представить в следующем виде:

Теперь из уравнения (32) ясно, что в есть мера анизотропии кристалла. Легко видеть, что при очень малых углах падения уравнение (33) можно приближенно переписать следующим образом:

и, следовательно, в этом случае оно переходит в обычный закон преломления для изотропных однородных сред [уравнение (9)], только вместо обычного показателя преломления в него входит "средний" показатель преломления вычисляемый по формуле (32).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление