Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Анализ напряжений и деформаций

1. Теоремы о равновесии.

В основе изучения напряжений лежит следующий принцип. Если мысленно вырезать из упругого тела произвольную конечную или бесконечно малую часть его объема, то силы напряжения, действующие на поверхность вырезанной части, должны уравновешивать приложенные к этой части внешние силы.

Первое применение основной теоремы о равновесии. Рассмотрим бесконечно малый тетраэдр с ребрами параллельными осям координат. Образуемые ими треугольники являются проекциями основной элементарной площадки на координатные плоскости. Если поэтому есть площадь этой последней площадки, направляющие косинусы нормали тогда площади треугольников равны соответственно

Сила, действующая на площадку, есть напряжение, умноженное на величину площади. Таким обравом, на наши площадки действуют соответственно следующие силы:

Перед силами стоит знак минус, ибо все три грани находятся на стороне убывающих координат.

Рис. 9.

Для достаточно малого объема мы можем считать, что силы, действующие на площадки уравновешиваются силой действующей на основную площадку Действительно, эти силы пропорциональны площадям, т. е. квадратам линейных размеров, в то время как объемные силы пропорциональны объему, т. е. третьей степени линейных размеров; поэтому объемными силами можно пренебречь по сравнению с силами напряжений. Если есть вектор напряжения, действующий на основную площадку, то сила напряжения, действующая на нее, равна Так как эта сила должна уравновешивать названные выше силы напряжения, то мы должны иметь:

Это уравнение позволяет нам находить вектор напряжений для любым образом ориентированной площадки, если заданы векторы напряжений для площадок, параллельных координатным плоскостям.

Равновесие на поверхности тела. Если мы вырежем наш тетраэдр таким образом, чтобы его основная грань была элементом поверхности данного тела, то силы, вызываемые напряжениями, действующими на грани тетраэдра, параллельные координатным плоскостям, должны уравновешивать внешние силы действующие на элемент в направлении координатных осей. Обозначая единичные векторы в направлении координатных осей через мы имеем для вектора внешних сил, действующих на выражение:

и условие равновесия требует, чтобы

Разлагая это векторное уравнение на три скалярных уравнения для компонентов по осям координат, получим:

Эти уравнения выражают условия равновесия для элемента поверхности. Второе применение основной теоремы о равновесии. Вырежем мысленно произвольный конечный объем внутри упругого тела. На каждый элемент

объема вырезанной части действуют объемные силы а на каждый элемент поверхности вырезанного объема силы напряжения:

или, в компонентах по осям:

Если мы имеем дело с равновесием, то сумма всех сил, действующих в направлении любой из координатных осей, должна равняться нулю:

Интегралы по поверхности могут быть прообразованы в объемные. Для этого обозначим через

Тогда есть нормальный компонент вектора и условие равновесия для оси х выразится так:

Преобразуя второй интеграл но теореме Гаусса

мы перепишем наше условие в виде:

и аналогично для других двух осей:

Эти три условия должны быть выполнены для любого, произвольно вырезанного из упругого тела объема. Это может быть только в том случае, если подинтегральные функции тождественно равны нулю, т. е. если:

Для равновесия выделенной части необходимо еще, чтобы сумма моментов сил напряжения и объемных сил была равна нулю. Проекция этой суммы моментов на ось есть сумма моментов всех объемных и поверхностных сил относительно оси (главный момент относительно оси ):

Преобразуя, как выше, поверхностные интегралы в объемные, заметим, что

Но имеет только компонент 1 в направлении оси также только один компонент 1 в направлении оси х, и поэтому

Следовательно

Таким образом, главный момент относительно оси будет

Первый из написанных интегралов равен нулю вследствие условий (4). Так как при равновесии для произвольным образом вырезанного объема, то должно быть

и аналогично для двух других осей

Отсюда следует также, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление