Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Тензор нанряженнй.

Исследуем несколько подробней напряженное состояние упругого тела. В частности выясним, как выражаются при повороте координатной системы компоненты, напряжений в новой системе через компоненты напряжений в старой.

Пусть новые оси образуют со старыми углы с направляющими косинусами Векторы напряжений для площадок, перпендикулярных к новым осям, будут

Мы получим их значения, если в формуле (1) вместо возьмем последовательно и это дает:

Для вычисления компонентов новых векторов напряжений умножим скалярно каждое из уравнений (6) на единичные векторы новых координатных осей. Тогда, например:

Таким образом, умножение первого из уравнений (6) на дает:

Выражения для остальных восьми компонентов вполне аналогичны формуле (7). В этих формулах для получения компонентов напряжения в повернутой системе надо сложить все девять старых компонентов, умножив предварительно каждый на два соответственных направляющих косинуса. Индексы в направляющих косинусах получаются по следующему правилу. Первые индексы этих косинусов совпадают со значками компонента напряжения, стоящего в левой части, а вторые индексы совпадают с значками умножаемого компонента напряжения, причем величины п. следует формально рассматривать как различные и, кроме того, полагать

Девять величин преобразующиеся по вышеописанному закону, образуют так называемый "тензор напряжений". В силу условий (5) тензор напряжений "симметричен" и легко видеть, что эта симметрия сохраняется в любой новой повернутой системе координат.

Главные оси напряжений. При исследовании напряжений в данной точке тела возникает вопрос, как выбрать направление осей координат, чтобы получить особенно простые выражения для напряжений. Это оказывается действительно возможным; а именно можно подыскать такие направления осей, для которых скалывающие напряжения обращаются в нуль, так что остаются одни нормальные напряжения (следует здесь же заметить, что подобное упрощение не может быть достигнуто одновременно для всех точек упругого деформированного тела в котором напряжения меняются от точки к точке, а лишь для каждой отдельной точки). Оси координат, имеющие такие направления, что для них пропадают скалывающие напряжения, называются главными осями напряжения или осями главных напряжений. Соответствующие нормальные напряжения называют главными.

Пусть в уравнении (1) есть направление одной из таких главных осей, а о— соответствующее нормальное напряжение. Так как на площадку, перпендикулярную к этой оси, не действуют скалывающие напряжения, то вектор напряжения совпадает с направлением Поэтому его компоненты по координатным направлениям будут и Разложив

векторное уравнение (1) на три скалярных, беря компоненты векторов по осям координат, получим три уравнения:

или

Эти уравнения суть линейные однородные уравнения, служащие для определения т. е. для определения главных осей. Как известно, система линейных однородных уравнений (8) имеет решения, отличные от нуля только в том случае, если определитель, составленный из коэффициентов, обращается в нуль, т. е. если

Определитель в девой части симметричен (так как ), и поэтому уравнение (9) имеет три вещественных корня Подставляя вместо о в уравнение (8), например, мы получим значения с точностью до общего множителя, который определяется из условия:

Таким образом, мы найдем направление одной из осей. Направления остальных двух главных осей находятся аналогично подстановкой вместо о в уравнения (8).

Как известно, найденные таким образом три главных оси взаимно перпендикулярны. Если мы перенумеруем главные напряжения так, что о, есть наибольшее, среднее и наименьшее из главных напряжений, то , будут максимальным, а минимальпым нормальным напряжением (в данной точке тела) среди нормальных напряжений, соответствующих всевозможным направлениям.

Следует отметить аналогию наших результатов с известными результатами векторного исчисления. Задавая главные напряжения, и соответствующие главные направления, мы задаем напряженное состояние в данной точке аналогично тому, как задается вектор своей величиной и направлением. Вектор, кроме того, может быть задан своими составляющими по осям, а напряженное состояние, вполне аналогично, девятью компонентами напряжения в данной координатной системе.

Бели чины главных напряжений, так же как и длина вектора, не зависят от выбора системы координат. Отсюда можем заключить, что и коэффициенты уравнения (9), определяющего главные напряжения, тоже не должны зависеть от выбора координатной системы. Выпишем уравнение (9) в развернутом виде, умножив его предварительно на —1:

Коэффициенты при различных степенях о, не зависящие от выбора системы координат, носят название инвариантов напряженного состояния. Их значения мы получим, повернув систему координат до совпадения ее с тремя главными направлениями; это дает

в согласии с известными формулами элементарной алгебры.

Формулы, выражающие компоненты напряжения в произвольной системе осей координат через главные напряжения, являются особенно простыми. Если направляющие косинусы главной оси относительно осей то

и т. д. циклической перестановкой

Рис. 10.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление