Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Минимальные принципы. Теоремы единственности

1. Работа деформации.

Для того чтобы вызвать деформацию единицы объема упругого тела, необходимо затратить известную работу (на единицу объема), которая остается поглощенной телом, пока длится упругая деформация и освобождается при разгрузке.

Таким образом, эта работа, которую мы будем называть работой деформации, равна энергии заключенной в единице объема при состоянии деформации. Для ее вычисления поступим следующим образом. Представим себе, что из упругого тела вырезан маленький параллелепипед с ребрами , параллельными главным осям напряжений и деформаций. Напряжения, действующие на его грани, будут а соответствующие удлинения ребер Длины ребер в деформированном состоянии будут -При увеличении на ребро а возрастает на и работа напряжения равная силе, умноженной на путь, т. е. напряжению, умноженному на поверхность и на увеличение длины будет:

Ограничиваясь малыми деформациями, мы можем пренебречь величинами по сравнению с единицей, и работа представится в виде:

Деля эту величину на объем получаем работу, затрачиваемую на единицу объема при увеличении на Но эта работа равна увеличению энергии

деформации, заключенной в единице объема, обозначенной нами черев Следовательно:

при постоянных Рассматривая аналогичным образом изменения получим, таким образом:

Подставляя сюда значения из уравнения (3) § 3, имеем:

Интегрируя, получаем:

Из этого выражения легко получить выражение энергии деформации через компоненты деформации относительно любой (прямоугольной) системы осей; для этого достаточно вспомнить [см. § 2, формулы (8)], что симметрические функции главных напряжений суть инварианты тенвора деформации. Имеем

Таким образом, энергия деформации, отнесенная к единице объема, представится в виде:

Мы прежде всего отмечаем, что из этой формулы следуют, как обобщение формул (1), соотношения:

Мы можем выразить энергию деформации и через напряжения. Для этого заметим, что есть однородная квадратичная функция компонентов деформации и, следовательно, по теореме Эйлера имеем

Подставляя в правую часть выражения компонентов деформации через компоненты напряжений, подучим выражения для энергии деформации черев напряжения; это выражение мы обозначим через так что:

И здесь следует особо отметить обращение формул (5):

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление