Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Движущиеся тела

Рассмотрим теперь изотропное тело с коэффициентом преломления , в котором свет распространяется со скоростью Если тело движется, то система координат, относительно которой скорость света попрежнему остается равной в свою очередь будет двигаться относительно этого тела.

Таким образом, к скорости света которая относится к покоящемуся телу, прибавится вектор скорости координатной системы, который мы обозначим через

Если определить направление светового луча в этой координатной системе единичным вектором так что вектор "относительной" скорости будет равен то результирующая скорость света, абсолютное значение которой мы опять обозначим через а вектор направления через будет равна —

Пользуясь представлением о некоторой упругой среде, так называемом эфире, в котором свет распространяется со скоростью часто выражают это соотношение следующим образом: к вектору скорости относительно эфира прибавляется вектор скорости "эфирного ветра" относительно нашего тела, причем векторная сумма обеих скоростей равна действительной скорости распространения света относительно рассматриваемого движущегося тела.

Теперь легко показать, что вычисление траектории луча в движущемся изотропном теле может быть сведено к рассмотрению покоящегося анизотропного тела; это обстоятельство дает возможность применить теорию, изложенную в § 1. В самом деле, переписывая равенство (35) в виде и возводя обе части последнего равенства в квадрат, мы получим следующее квадратное уравнение относительно

Если принять во внимание, что абсолютное значение скорости координатной системы всегда меньше скорости света то уравнение (36) имеет одно вещественное решение для

и, следовательно,

Мы видим, что коэффициент преломления действительно представляет собою функцию от благодаря чему мы можем воспользоваться изложенной в § 1 теорией анизотропных сред. Вычислим сначала нормальный вектор и, соответствующий лучу на основании равенств (40) и (44) § 1 мы получим

из этого выражения о помощью уравнения (40) легко получить выражение для вектора и, определяемое равенствами (40) и (44) § 1. Таким образом, мы находим

Если в знаменателе последнего выражение квадратный корень заменить его значением согласно (37), и принять во внимание вытекающее из уравнения (35) соотношение то равенство (40) примет вид:

Таким образом, поверхность волны перпендикулярна к "относительному направлению луча Поэтому и для волновой скорости мы получим, согласно уравнению (44) § 1:

Следовательно, скорость распространения волновых поверхностей равна проекции результирующей скорости света на "относительное" направление луча. Уравнение (40) определяет как функцию от Если решить его относительно то мы получив функцию (см. § 1, (42)), которая при подстановке или перейдет в функцию Гамильтона или в уравнение эйконала. Однако, мы не будем производить этих вычислений в общем случае, разберем только тот предельный случай, когда абсолютное значение скорости настолько мало по сравнению со скоростью света что можно ограничиться лишь членами, линейными относительно Обычно в этом случае говорят, что учитываются только эффекты первого порядка. В атом приближении, из уравнения (37) следует, что

а из уравнения (40), в силу уравнения (43):

или в рассматриваемом приближении:

Это уравнение легко решить относительно . При этом

Исключая из последнего уравнения при помощи соотношения мы получим

Левая часть полученного уравнения с точностью до некоторого множителя представляет собой функцию Гамильтона. Волновая скорость согласно" уравнению (44) § 1, определяется из уравнения

в котором, на основании равенств (41) и (42), можно положить Если обозначить составляющие вектора через и принять во внимание соотношение то, пользуясь равенством (46), уравнение эйконала можно представить в следующем виде

или

Исследуем теперь изменение световых лучей, вызываемое движением тела, ограничиваясь опять "эффектами первого порядка". Пусть функция будет изображать семейство световых лучей в движущемся теле, принадлежащих к некоторой волновой поверхности. Тогда эта функция удовлетворяет уравнению где величина есть функция от 8, определяемая равенством (40). Таким образом:

Отклонение световых лучей от их траектории в покоящемся теле легко найти с помощью введенного вами в § 1 (36) вектора кривизны для какой-либо кривой по отношению к световым лучам, распространяющимся в определенной среде. В качестве такой среды мы выберем здесь покоящееся тело. Тогда очевидно, что в выражении для радиуса кривизны § 1 (36) вместо величины нужно подставить рассматриваемое нами семейство световых лучей, а вместо величины нормальный вектор, соответствующий распространению света в покоящемся теле. Так как тело изотропно, то из уравнения (4), § 3 следует, и вследствие этого, согласно § 1 (36), мы подучим для вектора кривизны:

Отсюда на основании уравнения (49) вытекает

Это выражение измеряет кривизну световых лучей в движущемся теле но отношению к лучам в покоящемся теле. Следовательно, оно равно нулю, если движение не влияет на ход световых лучей, поскольку дело касается эффектов первого порядка. Так как наблюдения над ходом световых лучей в различных телах, находящихся на земле, не обнаруживают эффекта первого порядкам, вызываемого движением земли, то еще в период существования теорий эфира

выскавывались различные гипотезы, пытавшиеся совместить этот факт с существованием эфирного ветра. Из уравнения (50) вытекает необходимость такой гипотезы относительно эфирного ветра, появляющегося при движении тела, из которой вытекало бы обращение в нуль выражения Две наиболее важные из этих гипотез заключаются в следующем.

1. Гипотеза Стоке а. Внутри земных тел система координат, в которой скорость света имеет такую же величину, как и в покоящемся теле (эфир), полностью увлекается движением тел, так что вообще эфирный ветер не возникает, т. е. Но так как в наблюдениях над аберрацией звезд световые лучи вне земли, т. е. в пустом пространстве, также не обнаруживают каких-либо отклонений, которые могли бы возникнуть вследствие движения земли, и так как в пустоте то движение земли сквозь эфир должно вызывать в последнем поток, для которого то есть безвихревой поток.

2. Гипотеза Френеля. Если земля движется с постоянной скоростью то эфир внутри всякого земного тела движется не со скоростью со скоростью где х зависит от показателя преломления рассматриваемого тела. Очевидно, что скорость эфирного ветра С другой стороны, если где с некоторый постоянный вектор, то Следовательно, должно существовать равенство Если еще предположить, что сильно разреженный воздух не увлекает эфира, то при должно быть и поэтому Отсюда следует, что и

Эта величина, введенная Френелем и характеризующая увлечение эфира телом с показателем преломления была названа "коэффициентом увеличения" Френеля.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление