Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Уравнения движения. Единственность решения

1. Дифференциальные уравнения движения упругого тела

Данные уравнения получаются, если добавить к объемным силам силы инерции. Если есть масса единицы объема, то для получения сил инерции единицы объема надо умножить компоненты ускорения на т. е. силы инерции имеют компоненты:

Прибавляя эти выражения к в дифференциальных уравнениях упругого равновесия (7) (§ 3), получаем уравнения движения:

или

К этим дифференциальным уравнениям следует добавить еще граничные и начальные условия. В различных точках на поверхности могут быть заданы или смещения или поверхностные силы как функции от времени. В нервом случае, следовательно, на поверхности должйо быть:

где заданные функции места и времени. Во втором случае напряжения, которые связаны со смещениями теми же соотношениями, что и в статическом случае, должны уравновешиваться поверхностными силами, т. е.

где заданные функции места и времени. могут также зависеть от времени. К этому следует добавить начальные условия: в момент нам должны быть заданы положения и скорости точек, т. е. при

где заданные функции места.

Закон сохранения энергии. Обозначим через К полную кинетическую энергию упругого тела:

а через

как и выше, энергию упругой деформации, и вычислим изменение полной энергии со временем. Изменение кинетической энергии, рассчитанное за единицу времени, равно:

а изменение энергии деформации равно:

Но

и уравнение (8) может быть записано в виде:

Это выражение мы преобразуем так же как и раньше, интегрируя тождество

по всему объему упругого тела и преобразуя интеграл в левой части по формуле Гаусса в поверхностный интеграл:

Отсюда следует, что

Но из уравнений равновесия при присоединении сил инерции следует

Отсюда, принимая во внимание граничные условия получаем:

Это уравнение выражает закон сохранения энергии. Действительно, интегралы в правой части представляют работу объемных и поверхностных сил за единицу времени. Уравнение (13) утверждает тогда, что увеличение полной энергии за единицу времени равно работе, произведенной внешними силами за то же время.

2. Единственность решения.

Мы покажем, что может существовать только одна единственная система функций удовлетворяющая дифференциальным уравнениям движения и кроме того начальный условиям. Для простоты мы ограничимся тем случаем, когда на поверхности заданы либо только смещения, либо только поверхностные силы. Положим, что существуют два рёпгбнйя тогда разности:

вследствие линейности дифференциальных уравнений и граничных условий, должны удовлетворять уравнениям:

В тех точках поверхности, где заданы смещения, должно быть:

а в тех точках, где заданы поверхностные силы:

Далее, при должно быть

Функции являются, следовательно, решениями уравнений движения, в случае, когда объемные и поверхностные силы равны нулю, а в момент тело не деформировано и находится в состоянии повоя. Если бы такое решение существовало, то выходило бы, что недеформированное покоящееся тело могло бы без воздействия внешних сил начать двигаться. Это однако невозможно на основании закона сохранения энергии. Действительно, при отсутствии внешних сил полная энергия должна оставаться постоянной и даже равняться нулю,

так как она равна нулю в начальный момент времени. Кинетическая энергия и энергия деформации могут принимать только неотрицательные значения и, следовательно, их сумма может обращаться в нуль только в том случае, если каждая из них равна нулю в отдельности.

Кинетическая энергия, следовательно, равна:

Это возможно только в том случае, если

следовательно, остаются постоянными, и так как они в момент равнялись нулю, то и в любой другой момент:

Решения должны, следовательно, равняться друг другу. Иначе говоря, может существовать только одно единственное решение.

СОПОСТАВЛЕНИЕ ФОРМУЛ

Для дальнейших глав мы сопоставим еще раз полученные нами формулы в новой нумерации. Имея в виду приложения, мы ограничимся случаем, когда объемные силы суть силы тяжести

Формулы.

Работа деформации (энергия деформации) единицы объема

Связь между деформациями и напряжениями.

Обозначения:

прямоугольные координаты точки.

компоненты упругого смещения.

— компоненты тензора напряжения.

компоненты тензора деформации

главные напряжения.

— главные удлинения,

сумма главных напряжений.

сумма главных удлинений.

компоненты объемных сил, действующих на единицу объема.

компоненты поверхностных сил на единицу поверхности (компоненты вектора напряжения).

модуль упругости,

пуассоново число (обратное значение коэффициента Пуассона).

модуль сдвига

работа деформации (энергия деформации) на единицу объема, выраженная через компоненты деформаций,

а работа деформации на единицу объема, выраженная через компоненты напряжений.

Уравнения равновесия

В объеме:

На поверхности:

Дифференциальные уравнения для смещений:

Дифференциальные уравневия для напряжений: Уравнения (5) и следующие

Уравнения, выводимые из предыдущих

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление