Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Простейшие примеры.

Для решения задачи кручения мы сперва применим предложенный Сен-Венаном "полуобратный" метод; а именно, мы будем искать функции, удовлетворяющие дифференциальному уравнению а затеи будем выбирать за контур поперечного сечения такие кривые, на которых значения полученных функций удовлетворяют установленному нами граничному условию (8).

Круг. В простейшем случае, принимая постоянным, получим круг. Константа интегрирования С для нас не существенна и может быть положена равной нулю. Для можем взять значение:

где В — постоянная. Граничное условие выполнится, если мы выберем за поперечное сечение круг радиуса В. Напряжения равны:

Вектор окалывающего напряжения, приложенного к поперечному сечению, перпендикулярен к радиусу и величина его

пропорциональна расстоянию от центра.

Крутящий момент при угле закручивания на единицу длины равен

где есть полярный момент инерции площади круга относительно его центра

На практике обычно задается момент и требуется найти полный поворот цилиндра высоты

и наибольшее напряжение

Эллиптическое поперечное сечение.

Решение задачи кручения цилиндра с эллиптическим поперечным сечением мы получим, если в качестве выберем квадратичную потенциальную функцию:

Отыскивая точки, для которых выполняется граничное условие мы получаем эллипсы

или

где

Выражая сир через а получаем решение нашей граничной задача для эллипса с полуосями

Отсюда получаются компоненты напряжения:

и крутящий момент

Для эллипса

и, следовательно, момент

Мы отыщем еще наибольшее получающееся напряжение. Проведем из центра эллипса полудиаметр к некоторой точке на границе и заметим, что напряжения в точках, лежащих вдоль этого полудиаметра, пропорциональны расстоянию этих тоек от центра. Поэтому наибольшее напряжение может быть только на границе. Для точек на границе наши формулы для напряжений получают простое истолкование. Если точка на границе имеет координаты х, у, то конец сопряженного полудиаметра имеет координаты:

Подставляя это в формулы для напряжений, мы получаем:

т. е. напряжение в точке направлено параллельно сопряженному полудиаметру и пропорционально его длине Действительно, величина вектора напряжения равна:

Отсюда мы видим, что наибольшее напряжение

приложено на концах малой оси эллипса, а не на концах большой, как могло бы показаться на первый взгляд.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление