Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Метод разложения в ряд.

Дифференциальное уравнение и граничные условия движения струны линейны и однородны относительно неизвестной функции. Поэтому очевидно, что, составляя из ряда частных решений удовлетворяющих граничным условиям, сумму вида с постоянными коэффициентами с, мы получаем опять некоторое решение нашего дифференциального уравнения, удовлетворяющее граничным условиям. Будем искать сначала частное решение дифференциального уравнения (3), предполагая, что имеет вид

где зависит только от только от Подставив это выражение в (3) и разделив полученное дифференциальное уравнение на получаем:

Левая часть этого уравнения не зависит от х, а правая не зависит от Это может быть только в том случае, если обе части равны одной и той же постоянной, которую мы обозначим через Отсюда получается:

Основные частные решения этих уравнений имеют соответственно вид:

(Общее же решение получается линейной комбинацией предыдущих).

Так как произведение должно удовлетворять граничным условиям, в силу которых в любой момент времени начальная и конечная точки закреплены, то может быть только синусом, для которого

где целое число, которое можно считать положительным. Таким образом, мы получаем частные решения дифференциального уравнения (3), удовлетворяющие граничным условиям (4), при

где произвольные постоянные

Из них, как уже указано выше, можно составить более общее» решение с произвольными постоянными и взяв конечный или бесконечный ряд

Мы увидим ниже, как определяются пока произвольные постоянные если нам известны положения и скорости точек струны в начальный момент. Однако сперва рассмотрим несколько ближе колебания, представляемые отдельными членами этого ряда. Колебание вида:

которое мы также можем записать в виде:

(где есть колебание гармоническое. Это вначит, что каждая точка струны совершает гармонические колебания, притом так, что все точки одновременно достигают своего наибольшего удаления от нулевого положения и одновременно проходят черев это нулевое положение; а именно, это происходит тогда, когда равен соответственно 1 или О. Период колебания этого периодического движения

Его обратная величина

есть число колебаний, происходящих за единицу времени, например, секунду. От этого числа колебаний (частоты) зависит "высота тона". Мы видим, что каждая данная струна может совершать подобные гармонические колебания не с любыми частотами, а только с такими, которые получим, подставляя в формулу (7) вместо последовательные целые числа. При мы получаем самый низкий тон, который может давать струна, так называемый "основной тон". Остальные называются "гармоническими обертонами". При равном 2, мы получаем октаву основного тона. При равном 3, — квинту октавы, при равном 4, — вторую октаву и при равном — большую терцию второй октавы.

Из (11) мы получаем еще, что в тех точках, в которых является кратным величины — смещение остается все время равным нулю. Следовательно, -ое гармоническое колебание разделяет струну на равных частей, каждая которых колеблется так же, как колебалась бы струна длины — при своем основном тоне. Точки деления

называются узлами.

Наши формулы дают зависимость высоты основного тона от длины, натяжения и массы струны. Постоянные называются амплитудами колебаний, их квадрат определяет силу или интенсивность тона.

Если мы сложим ряд частных решений, то получим более сложную форму колебания струны, при которой одновременно звучит основной тон и ряд гармонических обертонов. От относительной интенсивности обертонов по Гельмгольцу зависит тембр звука.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление