Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Вынужденные колебания.

До сих пор мы рассматривали струну, которая начинает колебаться некоторого заданного начального состояния и на которую в дальнейшем не действуют никакие внешние силы. Рассмотрим теперь случай, когда колебания струны вызываются некоторой периодической внешней силой.

Мы рассмотрим простейший частный случай, когда эта сила (рассчитанная на единицу длины) представляется в виде

Из таких частных случаев может быть, при помощи разложения в ряд Фурье, составлен общий случай периодического возбуждения при внешнем воздействии. Будем искать решение такого же периодического вида

Тогда на основании принципа Даламбера мы получим интегральное уравнение

или, сокращая на

Здесь

есть прогиб струны под влиянием статической нагрузки. Сииметризируя ядро, полагаем:

и, вводя обозначение получаем

Это янеоднородное" интегральное, уравнение имеетх) определенное решение в том случае, если возбуждающая частота отлична от всех собственных частот однородной задачи, т. е. за исключением случая "резонанса". Решение нашего интегрального уравнения в виде, указанном Шмидтом, можно чисто формально получить, оперируя непосредственно с несимметричным ядром и его фундаментальными функциями Предположим для этого, что разложено по фундаментальным функциям:

и будем искать решение в виде

Подставляя это выражение в уравнение (40), мы получаем

Эти уравнения очевидно выполняются, если

Решение получается в виде

Принимая во внимание, что по (43)

мы можем это решение еще выписать в виде

Это есть решение неоднородного уравнения в той форме, в которой его дал Шмидт. Законность наших выводов сходимости разложения (48) функции может быть непосредственно обоснована, если принять, что разложение (43) функции к представляет равномерно сходящийся ряд.

То обстоятельство, что решение в последней форме (48) остается справедливым и без этого условия сходимости, представляет собой существенную математическую сторону доказательства Шмидта.

Если т. е. частота внешней силы равна одной из собственных частот, то это интегральное уравнение имеет решение только в том случае, когда

Механически это обозначает, что внешние силы не должны совершать никакой работы, когда струна совершает движение, соответствующее этому собственному колебанию.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление