Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Круговая мембрана.

Если мембрана ограничена окружностью, то для интегрирования уравнения (10).

мы введем полярные координаты и в плоскости

Рис. 21. (см. скан)

Как показывают простые вычисления, дифференциальное уравнение принимает в этих координатах вид

Если мембрана есть полный круг радиуса а, то должно оставаться конечным, когда меняется от 0 до а, и должно принимать то же самое значение, когда возрастает на Мы будем поэтому искать частные решения в виде

где есть целое число и В есть функция только для которой получается дифференциальное уравнение второго порядка

или

Это есть дифференциальное уравнение бесселевых функций порядка Функция есть единственное решение этого дифференциального уравнения, которое при остается конечным.

Следовательно, если произвольные постоянные, то

есть частное решение дифференциального уравнения (10). Для того чтобы выполнялось граничное условие на границе круга, т. е. при должно быть

Это трансцендентное уравнение имеет только вещественные корни , и нам достаточно ограничиться рассмотрением положительных корней. Мы обозначим их, расположив в возрастающем порядке, через Тогда мы имеем для X следующие значения: чему соответствуют значения

подставляя указанные значения (82), получаем частные решения уравнения (10), обращающиеся в 0 на границе, в виде

Общее колебание мембраны составляется из этих частных решений и представляется в виде

Для того чтобы полученное решение соответствовало заданному начальному состоянию мембраны, Следует еще подобрать надлежащим образом постоянные Если, например, в момент должно быть: то мы должны иметь

Умножая обе части на и интегрируя по от до получаем

причем для в правой части надо прибавить множитель 2.

Если мы умножим теперь обе части (38) на проинтегрируем по от до и примем во внимание равенства

(которые представляют собою частный случай условий ортогональности, о чем будет сказано ниже), то получим

Принимая далее во внимание, что

получим

и аналогично

Постоянные определяются по значениям начальных скоростей совершенно аналогичным образом.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление