Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Высшие характеристические числа.

Если нами найдено первое характеристическое число и первая фундаментальная функция (при граничном условии то можно определить второе характеристическое число и вторую фундаментальную функцию из аналогичной вариационной задачи. Для этого к добавочному условию следует присоединить в качестве второго добавочного условия еще условие ортогональности второй фундаментальной функции к первой:

Для нахождения решения мы рассмотрим опять, наряду с этим решением, совокупность функций с тремя параметрами и произвольно выбранными функциями обращающимися в нуль на границе, определяемую формулой

Интегралы являются тогда функциями от

Выразим, подобно предыдущему, условие того, чтобы интеграл принимал минимальное значений при то есть при Это у слови» дает равенства:

при где и неопределенные множители Лагранжа для наших двух добавочных условий. Это дает нам в свою очередь:

или, интегрируя по частям,

Так как эти интегралы должны обращаться в нуль при любом выборе то подобно предыдущему

Множитель должен быть равен нулю. Действительно, умножал предыдущее равенство на и интегрируя во всей поверхности мембраны, мы получаек? принимая во внимание граничные условия

Следовательно:

и

т. е.

Таким образом наше минимальное условие действительно эквивалента дифференциальному уравнению, а значение минимального интеграла опять-таки равно характеристическому числу. Если отбросить граничное условие то, подобно предыдущему, легко убедиться, что решение соответствующее вариационной задачи дается решением дифференциального уравнения при граничном условии Аналогичным образом продолжая, мы можем последовательно определить все характеристические числа и фундаментальные функций

с помощью их минимальных свойств. К требованию и добавочному условию присоединяются для характеристического числа еще следующие добавочные условия ортогональности:

Значение минимального интеграла равно соответствующему характеристическому числу:

Независимое определение характеристического числа из максимально-минимальной задачи. Для исследований общего характера указанный способ мало пригоден, так как он дает правило только для последовательного (рекуррентного) определения характеристических чисех Мы можем однако получить возможность непосредственного определения характеристического числа, если несколько изменим нашу вариационную задачу. Будем искать минимум интеграла

при добавочном условии

и граничном условии

Вместо условия ортогональности (24) мы потребуем, чтобы

где произвольно заданные функции от х и у. Тогда можно показать, что значение минимального интеграла всегда лежит между То, что оно больше, чем совершенно очевидно, так как представляет собой минимальное значение при отсутствии добавочных условий ортогональности. При сужении класса допустимых функций требованием соблюдения условий ортогональности (29) минимальное значение интеграла не может конечно стать меньше То, что искомый минимум меньше будет, очевидно, доказано, если нам удастся составить хотя бы одну функцию которая удовлетворяет всем добавочным условиям и для которой значение минимального интеграла меньше действительно, минимум должен лежать ниже любого частного значения интеграла, получаемого для какой-либо функции, и эту функцию мы составим в виде линейной комбинации первых фундаментальных функций:

Постоянные мы определим так, чтобы удовлетворялись добавочные условия (29) и (27). Это всегда возможно, так как уравнения

представляют собой систему линейных однородных уравнений, которые могут быть удовлетворены величинами бесчисленным множеством способов.

Умножением на некоторый постоянный множитель можно добиться того, чтобы кроме того

Вычисляя мы получаем:

Величины меньше, чем потому

Верхняя граница достигается только тогда, когда функции равны первым фундаментальным функциям. Следовательно, характеристическое число есть максимум всех минимальных значений интеграла (33), получающихся при произвольных добавочных условий ортогональности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление