Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Поле скоростей.

Если мы будем рассматривать движущуюся жидкость в некоторый момент времени то каждая "частица жидкости", т. е. жидкость, заключенная внутри очень малой замкнутой поверхности, имеет некоторую определенную среднюю скорость. Стягивая эту замкнутую поверхность в точку, мы приходим к представлению о том, что каждой точке пространства, занятого жидкостью, можно сопоставить определенную скорость течения. Эту скорость в данной точке обычно задают значениями ее составляющих по осям правой декартовой системы координат. Величина этой скорости будет

Сама же скорость но величине и направлению есть вектор

где — единичные векторы (орты) в направлении координатных осей. Функции мы будем предполагать конечными, однозначными и непрерывными во всей области, за исключением отдельных точек, линий или поверхностей.

Представление о поле скоростей (поле тока), т. е. о распределении скоростей в области, заполненной жидкостью, приобретает особую наглядность при введении линий тока. Последние суть кривые, направление которых (то есть касательная) в каждой точке совпадает с направлением вектора скорости в этой точке. Они являются интегральными кривыми совокупной системы дифференциальных уравнений

где аргумент функций нужно считать постоянным параметром. Линин тока, проходящие черев маленькую замкнутую кривую, образуют так называемую

трубку тока. Жидкость, заключенная внутри трубки тока, образует нить тока.

С течением времени, вообще говоря, изменяется не только скорость данно движущейся частицы, но и скорость в данном (закрепленном в пространстве месте поля. Поэтому с течением времени изменяют свой вид и все линии тока Траектории, по которым движутся частицы, не совпадают, следовательно с линиями тока. Эти траектории являются интегральными кривыми совокупно», системы

где аргумент функций является, в отличие от уравнений (3а), независимой переменной. Траектории частиц совпадают с линиями тока только в случае стационарного движения, когда скорость в каждой точке поля не зависит от времени. В этом случае жидкость, находившаяся внутри трубки тока, движете в ней как в твердой трубке; через любое поперечное сечение последней протекает в единицу времени одинаковое количество жидкости.

Задачей гидродинамики является изучение движения жидкости в кинематическом и в динамическом отношении. При этом мы можем либо ограничить? изучением всего поля скоростей в целом с его линиями тока для каждого момент времени, либо ввести в рассмотрение местонахождение каждой отдельной частицц т. е. изучать ее траекторию и движение ее по этой траектории. Все гидродинамические величины, а также давление и плотность, мы связываем, в первом случае, с точками поля, а во втором случае — с отдельными частицами жидкою в различные моменты времени.

Весьма важным частным случаем является плоское течение жидкости когда все частицы движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, причем частицы, расположенные друг над другом, т. е. на одном том же перпендикуляре к этой плоскости, описывают в параллельных плоскоота одинаковые траектории и остаются друг над другом все время. Все течение жидкое? описывается ее движением в одной из этих плоскостей, которую обычно выбираю за плоскость

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление