Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Деформация частицы жидкости.

Если мы будем рассматривать малую область, заполненную жидкостью вблизи некоторой точки движущейся со скоростью то для любой точки

этой области скорость в тот же самый момент времени равна

Различие в скоростях двух соседних точек приводит к тому, что. за единицу времени расстояние между точками изменяется на разность производит, следовательно, деформацию объема жидкости вблизв точки О и является мерой этой деформации. Скалярные разности скоростей

определяют компоненты относительных смещений в направлении осей Мы можем разложить эти смещения на две части, из которых полная деформация получается наложением

Эти две части мы выберем таким образом, чтобы уравнения, определяющие первую часть, имели симметричную, а уравнения, определяющие вторую часть, антисимметричную схему коэффициентов:

Первая часть деформации, определяемая уравнениями (10), есть деформация в собственном смысле, т. е. чистое растяжение но трем взаимно жерпендикулярным направлениям. Вторая часть, определяемая уравнениями (11), есть вращение вокруг некоторой оси, при котором жидкость, окружающая точку О, вращается как целое, подобно твердому телу. Это вращательное движение частиц жидкости называется вихревым движением. Мы видим отсюда, что в гидродинамике слово вихрь употребляется в смысле, не совсем совпадающем с обычным смыслом этого слова. Величины

называются компонентами вихря, а вектор

связанный с вектором скорости

соотношением

называется вихревым вектором. Направление этого вектора совпадает о направлением оси вращения частицы жидкости, а его величина

есть угловая скорость этого вращения; суть составляющие вектора угловой скорости по осям координат.

Таким образом, с нолем тока жидкости (нолем скоростей) мы связываем еще одно векторное ноле — поле вихрей. Линии вихревого поля, так

называемые вихревые линии, характеризуются тем, что их направление в каждой точке совпадает с осью вращения находящейся там частицы, они являются интегральными кривыми совокупной системы

Вихревые линии, проходящие через некоторую малую замкнутую кривую, образуют вихревую трубку. Жидкость, находящаяся внутри вихревой труби, образует вихревуюнить.

Для более подробного изучения деформации в собственном смысле, соответствующей чистому расширению, мы запишем уравнения (10) в более кратком виде:

и рассмотрим вблизи точки поверхности второго порядка, называемые поверхностями деформации:

Все точки с относительными координатами относительно точки О располагаются на совокупности геометрически подобных поверхностей второго порядка. Получающиеся при деформации в собственном смысле смещения т. е. изменения относительных координат, могут быть представлены в виде:

Относительные смещения представляют, следовательно, градиент некоторого поля, поверхности уровня которого суть вышеописанные поверхности второго порядка (17). Величина и направление смещений задается уравнениями (18).

Уравнение несжимаемости — условие отсутствия объемного расширения

выражает некоторое инвариантное свойство поверхностей деформаций. Если мы направим оси координат но главным осям поверхностей расширения, т. е. по ложим, что

то уравнение несжимаемости принимает вид

Это уравнение представляет соотношение между длинами трех главных осей и указывает, что, если жидкость несжимаема, то поверхностями деформаций могут, быть только центральные поверхности второго порядка одного определенного; класса, именно, так называемые ортогональные гиперболоиды.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление