Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

13. Теоремы о количестве движения для стационарного течения жидкости. Истечение из сосуда.

В механике системы материальных точек можно получить, путем составления надлежащих линейных комбинаций уравнений движения отдельных точек, уравнения, характеризующие движение всей системы. Таковы, например, уравнения, выражающие закон движения центра тяжести, а также закон площадей. Значение этих уравнений состоит в том, что вытекающие из них следствия могут быть использованы и в том случае, когда движение отдельных материальных точек не вполне известно.

В механике сплошных тел, в частности, в гидродинамике, можно таким же путем, т. е. без полного описания движения отдельных частиц, получить уравнения, позволяющие выводить следствия относительно движения замкнутой области, заполненной жидкостью, или же относительно равнодействующей появляющихся при этом движении сил. В простейших случаях движения, строго стационарного или стационарного только в среднем, для установления этих уравнений (теорем о количестве движения), необходимо знать только значения некоторых механических величин на поверхности, ограничивающей жидкость. Значение этих законов выходит далеко за пределы теории идеальной жидкости. На этом основано помимо их принципиального значения — их большое практическое значение в гидравлике. Мы будем, однако, нопрежнему рассматривать лишь случай идеальной жидкости.

Рассмотрим некоторый объем заполненный в данный момент жидкостью, и введем следующие обозначения:

количество движения жидкости, т. е. сумма количеств движений отдельных частиц,

К — равнодействующая внешних объемных сил,

равнодействующая внешних сил давления, действующих на поверхность жидкости,

момент количества движения жидкости,

равнодействующий момент внешних объемных сил,

равнодействующий момент действующих извне сил давления.

Тогда, как мы знаем, должны иметь место два уравнения (37а)

Эти уравнения получаются сложением соответствующих уравнений для отдельных частиц; первое из них выражает для отдельной частицы основной закон динамики, а второе — закон площадей. При сложении уравнений все внутренние силы, на основании прийцица равенства действия и противодействия, взаимно сокращаются, и остаются только объемные силы и их моменты. Силы давления, действующие на поверхность частиц и их моменты во всех внутренних точках жидкости, также взаимно сокращаются, и в уравнениях остаются только силы давления, действующие на внешнюю поверхность и их моменты.

Рассмотрим, в качестве простейшего применения уравнения (37а), случай стационарного течения несжимаемой жидкости в узкой трубке с твердыми стенками (рис. 22).

Область ограничена двумя перпендикулярными сечениями трубки и стенками последней. Количество движения жидкости, заключенной в данный момент в области может при стационарном движении меняться только за счет передвижения жидкости вдоль трубки. За время часть жидкости в прилегающая к начальному сечению освобождает некоторый заштрихованный на рис. 22 объем, а часть жидкости, прилегавшая к конечному сечению а, выходит из захватывая новый (также заштрихованный) объем. Изменение импульса за время равно разности импульсов выходящей и входящей жидкости.

Перенос количества движения через любое сечение может быть вычислен следующим образом. Если есть площадь этого сечения, то есть количество жидкости, проходящее за это воемя через сечение, и его количество движения.

Обозначим величины, относящиеся к начальному сечению, значком а к конечному — значком а; в частности, суть соответствующие единичные векторы внутренних нормалей к поверхности.

Тогда

суть импульсы жидкости, прошедшей за время через соответствующие сечения; величины дают, следовательно, перенос количества движения (в единицу времени) через соответствующие сечения. Отсюда имеем:

Сила давления складывается из еилы оказываемой давлением стенки трубки на жидкость, и из сил, действующих на оба сечения по направлению их внутренних нормалей. Обозначая через давления на обоих сечениях, получим:

Рис. 22.

Заметив еще, что

равно реактивному давлению, оказываемому жидкостью на трубку, мы получим из уравнения (37а) следующее выражение для этого реактивного давления:

Таким образом, для нахождения реактивного давления достаточно знать значение скорости и давления в обоих сечениях, а также равнодействующую внешних сил, причем обычно из внешних сил встречается только сила тяжести. В каждом из сечений к силе давления жидкости на поверхность добавляется еще перенос количества движения через поверхность, имеющий также размерность силы. Все эти силы направлены внутрь области

Таким же образом, как само реактивное давление получается из уравнения (37а), момент реактивного давления может быть найден из уравнения Тем самым определяется линия приложения силы реактивного давления.

Если жидкость, находящаяся в некотором сосуде под давлением вытекает через отверстие в пространство, в котором имеется давление то,

пренебрегая внешними силами, можно получить из уравнения давления (34) 12 скорость вытекающей струи:

В случае истечения тяжелой жидкости через отверстие, сделанное в сосуде на высоте к, отсчитываемой вниз от поверхности жидкости, уравнение энергии (35), 12 дает для скорости вытекающей струи

Это есть выражение теоремы Торричеллй, которая утверждает, что скорость частиц вытекающей жидкости такая же, как если бы они свободно падали да промежутке от поверхности жидкости до отверстия. Сравнение выражений (39) и (40) показывает, что избыток давления в месте истечения над давлением на поверхности равен давлению столба жидкости, находящейся выше отверстия.

При выводе уравнений (39) и (40) предполагалось, что распределение скоростей истечения во всем сечении струи равномерно. Вследствие схождения линий тока к отверстию такое распределение достигается однако лишь на некотором расстоянии от отверстия, где линии тока становятся вновь параллельными друг другу, причем, струя претерпевает сжатие. При выводе предполагалось также отсутствие падения давления в непосредственной близости к отверстию. Эти требования приближенно выполняются, если пользоваться насадкой Борда, представляющей короткую цилиндрическую трубку, идущую от отверстия внутрь сосуда. Обозначая через сечение трубки, мы можем сказать, что сила избыточного давления в насадке

уравновешивается силой реактивного давления вытекающей струи, равной переносу количества движения вытекающей жидкости. Обозначая через сечение струи после сжатия, мы получаем из уравнения (39), что перенос количества движения равен

Отсюда

а теоретическое значение коэффициента сжатия получается равным

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление