Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Следствия из теоремы Грина.

Если мы заменим в уравнении функции однозначным потенциалом скоростей о, удовлетворяющим уравнению Лапласа внутри ограниченной односвязной области, то мы получим следующие три теоремы:

1) Если на границе области постоянно или, в частном случае, нуль, то и внутри области имеет то же самое постоянное значение, как и на поверхности. Физически это означает, что внутри области нет никакого движения жидкости. Линии тока не могут проходить через поверхность, так как тогда о принимало бы экстремальное (максимальное или минимальное) значение внутри области, что невозможно. Они также не могут быть и замкнутыми кривыми, так как тогда было бы циклическим, а не однозначным потенциалом.

2) Если на границе нуль, то принимает внутри области постоянное

значение, которое не может быть определено из этого граничного условия.

Физически обращение в нуль на границе означает отсутствие линий тока, пересекающих эту границу. Отсюда вытекает, как и в предыдущем случае, отсутствие всякого движения внутри жидкости.

3) Если на некоторой части границы постоянно, а на остальной то внутри объема постоянно.

Из этих теорем вытекает следующая теорема единствености. Если во всех точках границы задано то функция может быть определена внутри области однозначно (или с точностью до аддитивной постоянной). Вопросом о существовании решения мы здесь заниматься не будем. Так же точно и методы построения функции по заданным значениям на границе, т. е. общее исследование задач на предельные условия, выходят из рамок этой статьи и относятся к теории потенциала. Значение и применение так называемой функции Грина мы рассмотрим несколько ниже (6, § 2).

Для областей, простирающихся до бесконечности, вышеупомянутые теоремы надлежит применять с осторожностью. Первая из теорем непосредственно применима в том случае, когда внутренняя граница бесконечной области состоит из конечных односвязпых областей, функция предполагается на бесконечности убывающей как а постоянное значение, принимаемое на внутренней границе, равно нулю. В других случаях требуется особое исследование.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление