Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Источники.

Точечный источник, интенсивность которого, отнесенная к единице массы, равна дает поле с потенциалом скоростей

где есть расстояние точки йаблюдения А от источника. Скорость, соответствующая потенциалу (5), имеет величину

и для направлена радиально наружу, а для т. е. для случая стока, — радиально внутрь. Поток через сферу радиуса равен Он зависит от радиуса и равен интенсивности источника. Это доказывает правильность нашей формулы (5). Потенциал удовлетворяет во всех точках, за исключением самого источника, уравнению Лапласа, т. е. уравнению неразрывности.

Непрерывное распределение источников — поле источников — мы получим, если каждому элементу объема припишем интенсивность где есть плотность источников. Соответствующий потенциал скоростей имеет вид,

Он удовлетворяет во всех точках поля источников уравнению Пуассона

а в остальных точках — уравнению Лапласа. Течение жидкости, определяемое уравнением (2), — безвихревое; скорость его равна

Следует отметить, что уравнение Пуассона (7) имеет один единственный интеграл, который, вместе со своими первыми производными, конечен, однозначен и непрерывен во всем пространстве и убывает на бесконечности, как Этот интеграл дается выражением (6), которое принято называть "ньютоновым потенциалом",

Кроме пространственно распределенных источников, могут быть источники, распределенные вдоль линий или поверхностей. Потенциал скоростей для поверхностного распределения источников имеет вид

где есть поверхностная плотность интенсивности. Этот потенциал обладает всюду, за исключением поверхностей, покрытых источниками, всеми свойствами ньютонова потенциала. На этих поверхностях первые производные потенциала претерпевают разрыв, так что при прохождении этой поверхности скорости изменяются скачками.

Рис. 26.

Потенциал скорости источников, распределенных линейно, т. е. вдоль некоторой кривой, имеет вид

где есть липейпая плотность интенсивности. Особо важен случай прямой (например, оси покрытой источниками постоянной плотности В этом случае, интеграл после вычисления и отбрасывания бесконечной константы, приводится к виду

Здесь есть расстояние от точки наблюдения А до оси (рис. 26). В этом случае есть так называемый логарифмический потенциал. Он удовлетворяет во всем пространстве, за исключением точек, лежащих на оси в, уравнению" Ланласа с двумя независимыми переменными

Соответствующее Движение является плоским, т. е. одинаковым во всех плоскостях, параллельных плоскости Если мы будем рассматривать движение в одной из этих плоскостей, то сечение ее осью есть источник движения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление