Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Пример: влияние сопротивления воздуха на движение точки под влиянием силы тяжести.

Если относительно сопротивления воздуха, испытываемого движущейся материальной точкой, сделать предположение, что оно пропорционально квадрату скорости и противоположно ей по направлению, то составляющие сил, действующих на можно написать следующим образом:

При этом С есть постоянная, называемая коэффициентом сопротивления, угол между касательной к траектории точки и положительным направлением оси х, так что

Поэтому, согласно (1), вместо уравнений движения (3), соответствующих движению в безвоздушном пространстве, надо написать:

Начальное состояние возьмем такое же, как и в п. 1.

Если в уравнения (6) ввести где длина дуги траектории, отсчитанная от начальной точки, то мы получим:

Разделив первое из этих уравнений на и проинтегрировав, получим:

Так как при также равно нулю, то из начальных условий следует соотношение и поэтому:

Как показал Л. Эйлер, интегрирование уравнений (6) сводится к квадратурам, если ввести в качестве вспомогательной величины тангенс угла наклона касательной к траектории; тогда:

Из (7), (8), (9) следует:

Но так как то из (10) следует:

Здесь можно в обеих частях произвести интегрирование с помощью элементарных функций. Если ввести обозначения:

то из (11) после квадратуры следует:

Это представляет конечное соотношение между содержащее две произвольные постоянные и или . Из (13) и (10) или из (13) и (9) следует:

Оба эти уравнения также можно решить посредством квадратур, но получающиеся при этом функции от не выражаются через элементарные функции. Поэтому квадратуру нужно выполнить графически или каким-либо другим методом численного интегрирования.

Таким образом, мы получаем как функции отри четырех произвольных постоянных, т. е. параметрическое представление траектории, — "баллистической кривой". Мы получим движение в зависимости от времени, если в первое из уравнений (10) вставим значение х из (14), именно:

тогда получим:

откуда после интегрирования получим как функцию от которую нужно вставить в интегралы уравнения (14), чтобы получить окончательное решение уравнений движения (6).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление