Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Вихревое поле; вихревые линии; закон Био-Савара.

Подобно тому как распределенные в жидкости источники вызывают движение всей жидкости, - находящееся там поле вихрей (или отдельную вихревую нить в поле, не имеющем других особенностей) можно рассматривать как причину происходящего в жидкости движения. Однако, в то время как поток, вызываемый полек источников, имеет потенциал скоростей, удовлетворяющий уравнению Пуассона в местах нахождения источников и уравнению Лапласа во всех остальных

точках пространства, — поток, вызываемый полем вихрей, имеет, потенциал скоростей лишь в точках жидкости, свободных от вихрей.

Поэтому можно, вообще говоря, получить выражение только для скорости потока. Положим, что жидкость заполняет все бесконечное пространство; Пусть величина

задана во всех точках вихревого поля, или всего пространства, причем заданная функция должна удовлетворять условию

Тогда выражение для скорости течения жидкости имеет вид

Здесь обозначает расстояние данной точки А (скорость которой определяется) от переменной точки вихревого поля, по которой производится интегрирование; последнее распространяется на все пространство. Вывод уравнения (23) сравнительно сложен; поэтому мы его здесь только наметим. Скорость нщут в виде "завихренности" некоторого векторного потенциала

Рис. 34.

Последний подчиняют уравнению

Если подставить выражение для в уравнение (22) и принять во внимание для получается уравнение Пуассона

решение которого есть, как известно,

Легко видеть, что в силу условия это выражение удовлетворяет уравнению Подстановка найденного выражения для в уравнение приводит к формуле (23). Получаемое таким путем течение жидкости не имеет источников.

Отдельная вихревая нить бесконечно малого поперечного сечения, с циркуляцией создает поток, скорость которого в некоторой точке А, не лежащей на этой нити (рис. 34), равняется

Здесь есть направленный элемент длины вихревой нити. Обозначим через а угол, составляемый элементом и вектором проведенным от в точку наблюдения А. Тогда выражение для скорости примет вид

Каждый элемент длины вихревой нити вызывает в точке А скорость Закон, определяющий скорость потока, вызванного вихревои нитью,

формально совпадает с законом Био-Савара в электродинамике, определяющим магнитное поле электрического тока.

Уравнение (24) выполняется не только для замкнутой вихревой нити, но и для нити, уходящей обоими концами в бесконечность. Так как в него уже не входит величина поперечного сечения вихревой нити, то правую часть можно относить и в изолированной, бесконечно тонкой вихревой нити (линии), обладающей конечным вихревым моментом; ее можно определить аналогично тому, как мы определяли точечный источник конечной интенсивности. По уравнению (52), 18, § 1, угловую скорость в точках изолированной вихревой линии нужно считать бесконечно большой.

Проведем произвольную поверхность, ограниченную вихревой линией, и преобразуем (для каждой из составляющих линейный интеграл в поверхностный но теореме Стокса. Мы получим:

Поток, вызываемый отдельной вихревой линией, имеет, следовательно, потенциал скоростей

Сравнивая это с уравнением (14), 4, мы видим, что вихревую линию можио заменить двойными источниками, распределенными по поверхности, ограничиваемой вихревой линией, причем оси их направлены по нормали к поверхности. Поверхностная плотность момента двойных источников постоянна и равна циркуляции в вихревой линии. Эта теорема также совпадает формально с известной теоремой электродинамики, согласно которой замкнутый электрический ток дает такое же магнитное поле, как и соответствующий двойной магнитный слой.

Полученное для выражение может быть истолковано геометрически. Телесный угол под которым видна замкнутая кривая из некоторой точки наблюдения, равен

Здесь интеграл распространен на произвольную поверхность, ограниченную заданной кривой. Отсюда следует, что потенциал скоростей вихревой линии" в точке наблюдения может быть следующим образом выражен, через телесный угол и циркуляцию Г:

Если наша точка наблюдения будет обходить вихревую линию по некоторой замкнутой кривой, то за время обхода телесный угол изменится на Вследствие этого потенциал скоростей вихревой линии является циклическим. Его циклическая постоянная есть циркуляция

Движение, вызываемое полем вихрей, так же как и движение, вызываемое одной вихревой линией, имеет в точках вне вихревого поля потенциал скоростей. Этот потенциал может быть получен путем надлежащего интегрирования выражения (25). Это мы сделаем в следующем номере (9), по крайней мере, для вихревых полей, распределенных по поверхности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление