Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9. Вихревые слои.

Если имеется непрерывное распределение вихревых линий на некоторой поверхности то говорят о вихревом слое. Пусть есть циркуляция вокруг бесконечно малой полоски, состоящей из вихревых линий на поверхности. Тогда скорость потока, вызываемого вихревым слоем, будет равна

Внешнее интегрирование производится по поверхности поперек вихревых линий.

Если вихревой слой образует односвязную поверхность, то внутренний интеграл можно для каждой вихревой линии преобразовать в поверхностный, распространенный на ту часть поверхности вихревого слоя, которая ограничена вихревой линней. Тогда скорость будет равна

а потенциал скоростей напишется

Здесь соответствующее элементу поверхности значение есть сумма циркуляций вокруг всех вихревых линий слоя, начиная от его границы до рассматриваемого элемента поверхности. Сравнивая это выражение с уравнением (14), 4, мы видим, что вихревой слой вызывает такой же поток, какой вызывало бы распределение двойных источников по поверхности вихревого слоя, причем поверхностная плотность их момента есть функция точки на поверхности.

Применимость вихревых слоев, однако, шире, чем применимость поверхностных распределений двойных источников, поскольку с помощью последних можно представить только однозначные потенциалы в односвязных областях, а с помощью первых — также и циклические потенциалы. В случае многосвязных областей скорость попрежнему задается уравнением (26). Для получения потенциала скоростей необходимо преобразовать в поверхностный интеграл, распространенный по поверхности ограниченной нашей вихревой линией, каковая поверхность является сечением многосвязного вихревого слоя. или, вернее, многосвязного пространства, ограниченного этим слоем. Впрочем это, по существу, тот же прием, какой применяется при изучении распределения двойных источников (см. конец 5). Потенциал скоростей принимает вид:

При переходе через вихревой слой, касательная составляющая скорости изменяемся скачком, тогда как нормальная составляющая остается непрерывной. Обозначим черев элемент длины на поверхности вихревого слоя,

перпендикулярный к направлению вихревых линий, а через составляющие скорости в направлении с обеих сторон вихревого слоя. Тогда

есть разрыв, претерпеваемый скоростью при прохождении через вихревой слой. Применение вихревых слоев весьма удобно и при рассмотрении потоков, содержащих поверхности, на которых касательная составляющая скорости терпит разрыв, так что два потока жидкости как бы скользят один по другому. На появление подобных поверхностей раздела (разрыва) указал Гельмгольц разработавший также метод их аналитического изучения. Для физической наглядности полезно представлять себе аналитические вихревые слои, появляющиеся на поверхности раздела как действительные слои жидкости, частицы которых, как валики, лежащие между обоими потоками, способствуют скольжению последних.

Вихревые слои не являются, вообще говоря, ни стационарными, ни устойчивым (ср. 19, § 1 и 18, § 3).

О возникновении вихревых слоев см. ниже 18, § 3.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление