Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Уравнения движения системы свободных материальных точек и их интегралы.

Рассмотрим теперь систему, состоящую из свободных материальных точек. Пусть точка со значком имеет массу и прямоугольные координаты относительно некоторой инерциальной системы, и пусть на нее действуют силы, составляющие которых по координатным осям обозначены через Уравнения движения Ньютона имеют вид, аналогичный (1):

Если мы будем рассматривать как составляющие вектора "вектора положения", а как составляющие "вектора силы" то уравнения (16) можно написать в следующем простом виде:

Если сложить все уравнений (17) и ввести сокращенные обозначения

то из (17) следует:

Величина называется количеством движения или поступательным импульсом системы, а величина к главным вектором "внешних" сил, так как при суммировании векторов к, внутренние силы вследствие равенства действия и противодействия попарно сокращаются. Если на систему не действуют никакие внешние силы, т. е. то из (19) вытекает постоянство или, разлагая на составляющие:

Эти три интеграла уравнений (16) называются интегралами количества, движения или импульса. Если ввести еще обозначения:

где является вектором положения центра инерции, то из (18), (19), (21) следует:

т. е. центр инерции движется так, как если бы вся масса была сосредоточена в нем, и все внешние силы были приложены к нему.

Если помножить уравнения (17) векторно на и сложить опять все получающихся таким образом уравнений, то получим:

Но по правилу дифференцирования векторного произведения

и поэтому в силу равенства

где

Величины называются соответственно моментом количества движения системы и главным моментом внешних сил относительно начала координат, если мы опять примем во внимание, что главный момент внутренних сил равен

нулю. Если имеются только внутренние силы, то из (24) вытекает постоянство что выражается в составляющих этого вектора равенствами:

Эти уравнения называются интегралами площадей.

Наконец, если помножить уравнения (17) скалярно на и опять сложить все, то мы получим:

или, так как

где

К называется живой силой или кинетической энергией системы, а - работой сил совершаемой в единицу времени. Если мы предположим, что существует потенциальная энергия, т. е. функция V координат которой составляющие сил получаются по правилу:

то из (28), (29), (30) следует интеграл энергии:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление