Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

14. Движение твердых тел в идеальной жидкости.

Движение одного или нескольких твердых тел в идеальной жидкости изучалось многими авторами и представляет задачу, очень интересную в математическом отношении. В физическом же отношении к результатам этих исследований следует подходить с осторожностью. В самом деле, из парадокса Даламбера следует, что тело, покоящееся в поступательном потоке жидкости, не оказывает последнему никакого сопротивления; поэтому и обратно, для поддержания равномерного и прямолинейного движения твердого тела в идеальной жидкости, так же точно, как и в пустом пространстве, не требуется прилагать силу и совершать работу. Сила необходима только для сообщения ускорения и она вдет на преодоление силы инерции движущихся масс. При этом следует под движущейся массой понимать не

только массу твердого тела, но и массу жидкости, увлекаемой телом при его движении. Так как поток жидкости не имеет источников и произошел из состояния покоя, то он должен иметь потенциал скоростей, убывающий на бесконечности как

Решение задачи, кратким наброском которого мы здесь ограничимся, распадается на кинематическую и динамическую части. Кинематическая часть задачи состоит в разыскании движения жидкости, вызываемого заданным Движением твердого тела. Мы предположим сперва, что имеется только одно твердое тело. Состояние движения жидкости зивисит от шести составляющий) скоростей его поступательного и вращательного движения. Состояние движения жидкости определяется требованием, чтобы нормальная составляющая скорости жидкости на границе жидкость — твердое тело равнялась нормальной составляющей скорости твердого тела. Для определения движения жидкости нужно, следовательно, решить граничную задачу второго рода. Последняя имеет однозначное решение, если твердое тело односвязно, т. е. не просверлено, так что циклические токи отсутствуют. Для отыскания потока, соответствующего произвольному состоянию двикения твердого тела, достаточно найти решение граничной задачи второго рода для шести различных простейших распределений граничных значений сообразно шести степеням свободы твердого тела. Решение для общего случая может быть получено линейной комбинацией из этих шести частных случаев. Введение второй функции Грина упрощает решение только формально.

Если в жидкости имеется не одно, а ненросверленных твердых тел, то новых затруднений принципиального характера при этом не возникает. Вместо шести составляющих скорости, в этом случае будут входить уже составляющих, вообще говоря, обобщенных в смысле Лангража. Случай просверленных тел нами здесь рассматриваться не будет, так же как и существование многосвязной твердой границы.

Динамическая часть задачи состоит в установлении уравнений движения, определяющих зависимость ускорений, т. е. изменение состояния движения твердых тел и жидкости от внешних сил, и в интегрировании этих уравнений. Для установления уравнений движения можно исходить из уравнения Лагранжа второго рода, или, что методически еще лучше, из начала Гамильтона Дело сводится, следовательно, к получению выражений для кинетической энергии и для работы при виртуальном перемещении. Кинетическая энергия твердых тел есть однородная квадратичная функция от их скоростей с коэффициентами, зависящими от обыкновенных или обобщенных координат этих тел. Тот же вид имеет и кинетическая энергия жидкости, как это непосредственно вытекает из уравнения если припомнить замечание, сделанное при рассмотрении кинематической части задачи, что потенциал скоростей потока жидкости есть линейная функция от скоростей твердых тел. Виртуальная работа, а тем самым и силовая функция, получается из упомянутого нами выше (10, § 1) обобщенного принципа Архимеда; она оказывается функцией только от координат твердых тел. Для установления уравнений Лагранжа второго рода никаких данных, кроме этих, уже не требуется. Система, состоящая из твердых тел и жидкости, в которой они находятся, ведет себя как система с степенями свободы.

Проинтегрировать уравнения движения удается только в простейших случаях; уже трудности кинематической части задачи большей частью оказываются непреодолимыми. Сравнительно просто удается рассмотреть случай однородного шара. Решение граничной задачи для этого случая было нами получено другим путем (7). При движении шара, к его собственной кинетической энергии добавляется кинетическая энергия массы жидкости, объем которой равен половине

объема шара, а скорость равна скорости центра шара. Силовая функция может быть получена из закона Архимеда в его частной формулировке: вес шара уменьшается на вес вытесняемой им жидкости.

Легко отсюда видеть, как будет себя вести в жидкости маятник, который мы для простоты положим шарообразным. Период его колебаний увеличится по сравнению с периодом колебаний в пустом пространстве по двум причинам: из-за увеличения инерции движущейся массы и из-за уменьшения ускорения силы тяжести. Затухания, однако, не произойдет; это есть следствие парадокса Даламбера, т. е. пренебрежения трением.

Других примеров движения одного тела мы приводить не будем. Движение многих тел в идеальной жидкости особенно интересно из-за появления ускорения отдельных тел, которое можно свести к проявлению "гидродинамических сил дальнодействия". Два шара, центры которых движутся один за другим по одной к той же прямой, отталкивают друг друга с силой, обратно пропорциональной, примерно, четвертой степени расстояния между их центрами. Два шара, движущиеся параллельно друг другу, притягиваются. Еще замечательнее силы взаимодействия, возникающие между двумя синхронно пульсирующими шарами; в зависимости от разности фаз получаются силы притяжения или отталкивания, обратно пропорциональные квадрату расстояния

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление