Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Конформное отображение.

Применение конформного отображения для получения из иввестного потока новых потоков, удовлетворяющих заданным условиям, будет иллюстрировано нами на одном примере, весьма важном для приложений

Поступательный поток, обтекающий круг (т. е. круговой цилиндр), получается так же, как и для шара [уравнение (21), 7, § 2]. С помощью комплексного потенциала он выражается, однако, проще, чем в пространственном случае. Комплексный потенциал потока, обтекающего круг радиуса равен

Здесь есть комплексная скорость поступательного движения на бесконечности, есть комплексно сопряженная с ней величина. Поток, обтекающий круг, получается, как мы видим, добавлением к поступательному потоку потока от надлежащим образом выбранного двойного источника.

Далее, если поместить в центре круга вихревую точку, то и для вызванного ею потока можно считать круг радиуса твердой стенкой. Добавляя к (11) комплексный потенциал вихревой точки (7), 1 мы получаек поток

для которого наш круг представляет твердую границу. Вне круга мы имеем наложение поступательного и "циркуляционного" движения. Скорость течения равна

Поток имеет различный характер, в зависимости от того, будет ли

где есть абсолютное значение скорости

В первом случае, одна из линий тока имеет двойную точку (пересекает сама себя) и образует замкнутую петлю, внутри которой лежит наш круг. Жидкость внутри петли движется все время по замкнутым траекториям вокруг круга (рис. 36а).

В третьем случае мы имеем на окружности круга две напорные точки. Они являются точками разветвления для линий тока, встречающих в этот месте круг. Эти линии разде ляют весь внешний поток на две части, каждая из которых обтекает круг со своей стороны (рис. ).

Рис. 36. (см. скан)

Второй случай является переходным между первым и третьим

Введем новую переменную

Решая это уравнение относительно получаем:

Эти формулы преобразуют плоскость круга в двухлистную риманову поверхность, два листа которой соответствуют внешней и внутренней (относительно круга) области. Окружность переходит при этом в прямолинейный разрез, соединяющий обе лежащие на вещественной оси точки разветвления вдоль этого разреза один лист римановой поверхности переходит в другой. Из потока, обтекающего круг в плоскости получается поток, который обтекает отрезок плоскости соединяющий обе точки разветвления. В преобразованном потоке (в плоскости следует различать те же три случая, как и в исходном потоке. Для многих целей нет необходимости выписывать подробно выражения для комплексного потенциала скоростей и для комплексной скорости преобразованного течения; мы их не будем приводить и здесь. Чтобы выразить эти величины в функции от достаточно заметить, что

Рис. 37.

Весьма важным для приложений является поток, который относится к третьему случаю и в котором одна из точек разветвления совпадает с концом обтекаемого отрезка, так что остается только одна напорная точка. Такого типа будет плоский поток, обтекающий поперечное сечение несущей поверхности (крыла) больших продольных размеров. Для применения к теории несущих "поверхностей были найдены, путем соответствующих преобразований, многочисленные виды течения вокруг контуров, ближе подходящих к встречающимся на практике профилям несущих поверхностей, чем прямолинейный отрезок.

Рассмотренный здесь довольно сложный поток слагается из простых отдельных потоков. Такого рода поток легко получить графически по способу, предложенному Максвеллом. Если для каждого из двух потенциальных течений начертить, как указано на рис. 37, систему эквипотенциальных кривых для равноотстоящих значений потенциала и наложить оба чертежа один на другой, то получится сетка. Для одного семейств диагональных кривых этой сетки сумма - значений обоих потенциалов будет постоянна. Эти диагональные кривые III являются, следовательно, эквипотенциальными кривыми того течения, которое получается наложением обоих потенциальных течений.

Таким же обравом можно получить линии тока составного течения из линий Фока слагающих течений; в самом деле, линии тока плоского потенциального течения можно рассматривать как эквипотенциальные кривые сопряженного потенциального течения.

Способ Максвелла можно обобщить на пространственное потенциальное течение, однако лишь в той части, которая относится к построению эквипотенциальных поверхностей, а не к построению линий тока.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление