Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Метод Леви-Чивита.

Метод Кирхгофа, как и его обобщение, применим к изучению лишь тех потоков, твердые границы которых составлены из прямолинейных отрезков. Леви-Чивита разработал более общий метод, который позволяет рассматривать любым образом ограниченные препятствия в потоке жидкости, простирающемся до бесконечности, причем на форму препятствия налагаются лишь некоторые общие ограничения. Скорость потока на бесконечности предполагается направленной вдоль положительной оси х, а но величине равной 1.

Положим, что в точке О плоскости препятствие имеет ребро, на котором приходящая линия тока расщепляется на две. Эти две линии тока идут с двух сторон вдоль препятствия и, оторвавшись от него в точках образуют затем свободные границы потока, отделяющие его от Омертвой воды", расположенной непосредственно препятствием (рис. 40).

Эти две исходящие из точки линии тока изображаются в плоскости а одной и той же положительной осью от 0 до бесконечности, которую поэтому надо считать дважды; вдоль этой линии следует представлять себе плоскооть разрезанной. Бесконечно удаленной точке плоскости соответствует бесконечно удаленная точка плоскости а.

В отличие от Кирхгофа, в дальнейшем вводится, вместо комплексной скорости

или ее обратной величины новая комплексная переменная

где имеют прежнее значение. Для сокращения положим

В плоскости начало координат есть изображение бесконечно удаленной точки потока; изображением обеих свободных границ является отрезок оси а. На свободной границе вещественно.

Существенно новым в методе Леви-Чивита является введение вместо а новой комплексной переменной С

которая определяется не условия, чтобы изображением разрезанной плоскости а. в плоскости являлась внутренняя часть полукруга единичного радиуса, лежащего в верхней полуплоскости. Изображение бесконечно удаленной точки потока должно при этом попасть в начало координат; изображения точек в точки на оси 5. Изображением точки О будет тогда какая-то точка на полукруге.

Рис. 40.

Функция определена йтими условиями однозначно и легкг может быть найдена.

Функция которая была регулярной функцией от а на всей разрезанног плоскости а, за исключением точки О, будет, как функция от С, также регулярной внутри полукруга, за исключением точки кроме того, на всем диаметр она будет вещественной. Применяя принцип отражения Шварца мы ее можем продолжить на нижнюю полуплоскость. Тогда будет регулярна, внутри всего круга и будет иметь две особенные точки на его периферии в точке О и в ее зеркальном изображении О (относительно оси

Проведя наше рассуждение в обратном порядке, мы убедимся, что каждой функции которая регулярна внутри единичного круга, вещественна на его вещественном диаметре и имеет на окружности две симметрично расположенные особенные точки, можно вывести функцию которая соответствует обтеканию криволинейного препятствия. Решение, впрочем, не всегда физическг осуществимо; для этого функция должна удовлетворять известным аналитическим условиям. Форма препятствия получается из функции т. е. под самый конец. Более важная (физически) задача о нахождении нотока, обтекающего контур наперед заданной формы, наталкивается до сих пор на непреодолимые аналитические трудности.

Зато все динамические величины, которые относятся к препятствию, соответствующему данной функции могут быть вычислены без определение

формы самого препятствия. Например, сила, с которой поток давит на препятствие, получается вычислением выражения:

где, после введения независимой переменной С вместо интегрировать нужно по окружности единичного крута. Так как подинтегральная функция, рассматриваемая как функция от С, имеет в точке полюс, то вычисление сводится к нахождению вычета в этой точке. Вещественная часть от В дает нам сопротивление потоку в направлении оси х, мнимая же часть дает силу, действующую в поперечном направлении (если она имеется).

В связи с исследованиями Леви-Чивита многими, преимущественно итальянскими и французскими математиками, равобран ряд примеров, на которых, так же, как и на дальнейшем развитии теории, мы вдесь останавливаться не можем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление