Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

с) ВОЛНЫ

9. Общие соображения о волнах жидкости.

Под общим Названием волнового движения принято объединять большое число динамических процессов, весьма различных по своей природе и формам проявления. Часто различают стоячие и бегущие волны. К последним относятся, наряду с группами волн, волновыми пакетами, состоящими из следующих друг за другом гребней и долин, также и одиночные волны. Волны, бегущие без изменения формы их поверхности, называются перманентным и. Важнейшие перманентные волны суть волны периодические. Форма поверхности их не меняется во времени и повторяется через равные промежутки длины. Существование перманентных безвихревых волн было в течение долгого времени спорным

вопросом, и лишь недавно вопрос этот был разрешен Леви-Чивита в утвердительном смысле (см. 7 выше). Прежние методы позволяли только получать перманентные волны очень малой (бесконечно малой) амплитуды и применять для определения перманентных волн конечной амплитуды процесс последовательных приближений, причем сходимость этого процесса не только не была доказана, но и оставалась под вопросом, так как имелись обоснованные сомнения в фактическом существовании этой сходимости.

Волны, бегущие в поступательно-движущемся потоке со скоростью, равной скорости потока, но направленной в противоположную сторону, наблюдаются в природе. Это фактически происходящее явление вполне соответствует примененному нами выше приему (мысленному эксперименту), который состоял в том, что, путем наложения надлежащего поступательного движения на перманентную волну, мы получали из нее стационарную струю. Выделяя, если нужно, чисто поступательное движение, можно из любого волнового движения получить такое, в котором полное перемещение каждой частицы жидкости или, по крайней мере, перемещение около ее среднего положения будет мало. Потенциал скоростей такого движения (если только он существует) будет во всем поле тока ограниченной функцией. Этот факт может, при упомянутом ограничении, послужить математическим определением волнового движения любого рода. Если мы предположим, что волновое движение возникло из состояния покоя под действием консервативных внешних сил, то для этого случая существование потенциала скоростей вытекает из теоремы Гельмгольца о вихрях.

Наряду с этим уже давно известен под именем волн Герстнера один вид вихревого волнового движения. Это движение является перманентным, обладает конечной амплитудой и допускает простую математическую трактовку; физическое значение его, однако, не велико.

Физически едва ли возможно дать определение, охватывающее все возможные волновые движения и только их. Отвлекаясь от стоячих волн, мы можем усмотреть общее характерное свойство всех бегущих волн в том, что (после определения, если это нужно, чисто поступательного движения) некоторое явление распространяется со скоростью, превышающей скорость движения частиц жидкости. Это имеет место (с небольшими изменениями) и в случае волнового движения жидкостей, имеющих в состоянии покоя неплоскую границу, например, для волн на поверхности жидкого шара или эллипсоида. Последнего случая мы касаться в дальнейшем не будем.

Главная математическая трудность, возникающая при изучении волн в жидкости, так же как и при изучении струй, состоит в том, что, наряду с обычными предельными условиями, на твердых стенках должно выполняться условие постоянства давления на свободной поверхности. То обстоятельство, что движение волн, вообще говоря, нестационарно, делает теорию волн еще более трудной, чем теорию струй. К тому же, в некоторых случаях, например, для волн, распространяющихся на границе между двумя жидкостями, простое граничное условие постоянства давления заменяется более сложным.

В идеальных несжимаемых жидкостях все волны являются поверхностными волнами в том смысле, что движейие частиц наиболее интенсивно на поверхности, а при удалении вглубь оно ослабевает. Если плотность зависит, от давления, то внутри жидкости могут существовать волны сгущения и разрежения, которые мы здесь рассматривать не будем.

Общий случай, когда плотность зависит и от других факторов, вообще исключен нами из рассмотрения в этой статье. Литература по волновому движению необычайно обширна. В значительной части исследований задача ставится

с самого начала приближенно, а многие преследуют и технические цели. Некоторые типы волн важны для гидравлики.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление