Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10. Периодические волны в канале.

Если на бегущие в канале конечной глубины со скоростью с (налево) периодические перманентные волны наложить поступательное движение с той же скоростью с, но в противоположном направлении (направо), то получится стационарная волновая струя. Возможность сделать с помощью такого приема перманентное волновое движение стационарным была замечена Рэлеем и применена им к определению волн малой амплитуды. В 7 комплексный потенциал был вычислен нами для этого случая по более общему методу Леви-Чивита, причем получилось

Здесь X есть длина волны, а определяет амплитуду. Ось х нашей координатной системы совпадает с дном канала и направлена вправо. Глубина канала связана с с и X уравнением (24), 7:

которое мы уже обсуждали выше. Условие для давления выполняется только на поверхности канала, которая для состояния покоя выражается уравнением

Если отнести бегущие волны (без поступательного движения) к системе координат, неподвижной в пространстве, то для (теперь уже нестационарного) волнового движения мы получаем следующий потенциал скоростей:

Составляющие скорости (в функции координат и времени) будут тогда

Мы приходим к первоначальному решению Эйри, которое соответствует требованию, чтобы поверхность волны имела вид чистой синусоиды.

Интегрирование этих уравнений и определение путей отдельных частиц выполняется без затруднений лишь при упрощающем предположений, что каждая частица совершает периодическое движение вокруг своего среднего положения и что перемещения весьма малы. Вследствие малости перемещений можно тогда заменить скорость частиц на ее орбите той скоростью, которой обладает в тот же момент времени жидкость в центре траектории частицы. При этих предположениях траектории оказываются эллипсами, большая ось которых горизонтальна, причем с приближением к дну канала обе оси эллипса уменьшаются, тогда как расстояние между фокусами остается неизменным. Частицы на дне канала колеблются по горизонтальным прямым.

Соотношения эти несколько упрощаются для каналов бесконечной глубины. Если мы не хотим производить при этом самостоятельного иследования и исходим из каналов конечной глубины, то для аналитического рассмотрения вопроса

необходимо предварительно перенести ось х со дна канала на его поверхность и затем произвести переход к пределу для бесконечно возрастающей глубины. В уравнения (30) войдет тогда, вместо гиперболических функций, простая показательная функция. Траектории частиц будут круги, радиусы которых быстро убывают с возрастанием глубины.

В действительности, т. е. для волн конечной амплитуды, траектории частиц жидкости будут хотя и почти замкнуты, но все же не совсем замкнуты. Это получается потому, что на гребне волны поступательное движение вперед несколько больше попятного движения в волновой долине. Вследствие «того волновое движение связано в верхних слоях с некоторым переносом массы в направлении распространения волны, который хотя и мал, но не равен нулю. Наиболее веским возражением против изложенной выше приближенной теории Эйри является то, что она не дает переноса массы. Стокег) впервые заметил отклонение этой теории от действительности, применив метод последовательных приближений для волн конечной амплитуды. В теории Стокса волновые гребни и волновые долины не симметричны по отношению друг к другу; долины несколько более пологи, чем гребни. Для более точного определения траекторий частиц естественно попытаться применить, вместо эйлеровых уравнений движения, уравнения Лагранжа. Такого рода попытки делались неоднократно.

В весьма мелких каналах, в которых, при одинаковой длине волны, скорость распространения

будет меньше, чем в глубоких, незамкнутость траекторий частиц становится при больших амплитудах сильно заметной и легко приводит к опрокидыванию волновых гребней. Это явление, напоминающее прибой, не следует смешивать с разбиванием волн на поверхности глубокой воды под действием ветра, влияние которого на образование волн мы в предыдущем совсем не учитывали.

Гельмгольц исследовал образование волн на границе двух жидкостей, расположенных в виде слоев одна над другой и имеющих различные горизонтальные скорости течения. Линия раздела должна быть линией тока для обеих жидкостей, это условие должно выполняться строго. К нему присоединяется, вместо обычного условия для давления на поверхности жидкости, условие равенства давлений по обе стороны линии раздела. Если ограничиться волнами малой амплитуды, достаточно удовлетворить этому условию приближенно. При этом предположении волны на линии раздела качественно не отличаются от поверхностных волн жидкости неограниченной глубины. В количественном отношении нужно в этом случае заменить ускорение силы тяжести на где плотности обеих жидкостей. Скорость распространения будет равна, по уравнению (25), 7:

Воздушные волны Гельмгольца образуются на границе двух скользящих друг относительно друга потоков воздуха, несколько различающихся своей плотностью. Длина этих волн очень велика, так как скорость их не может опуститься ниже некоторого определенного минимального значения; последнее вытекает из соображений устойчивости.

Поверхностные волны на воде при учете ветра также должны рассматриваться как волны на границе между воздухом и водою. Из соображений устойчивости следует, что эти волны могут возникнуть только если скорость ветра превысит некоторое определенное значение, которое на опыте оказывается, впрочем, ниже теоретического. Очевидно, что при возникновении воли от ветра существенную роль играет трение.

До сих нор мы пренебрегали поверхностным натяжепием; для коротких волн это уже недопустимо. Поверхностное натяжение искривленной поверхности жидкости вызывает добавочное, действующее по нормали давление

которое прибавляется к атмосферному, одесь и главные радиусы кривизны поверхности, а ее средняя кривизна. Главный радиус кривизны следует считать положительным, если соответствующее нормальное сечение направлено выпуклостью в воздух. Капиллярная постоянная есть отнесенная к единице длины сила натяжения поверхности. При учете поверхностного натяжения скорость распространения волн в бесконечно глубоком канале будет

Для длинных волн — "волн тяжести" в сумме под корнем преобладает первый член и скорость определяется уравнением (25), 7. Для коротких — "капиллярных" — будет преобладать второй член суммы. Скорость коротких капиллярных волн зависит от констант жидкости тогда как скорость длинных волн тяжести — от рода жидкости не зависит. Существует критическое значение, ниже которого скорость распространения волны упасть не может; это значение достигается, когда оба члена под знаком корня в (34) становятся равны друг другу, что будет иметь место при Критическая скорость равна

Каждой скорости, большей чем соответствуют две волны различной длины: одна капиллярная, а другая — волна тяжести.

Содержащаяся в волне "энергия", рассчитанная на полную длину волны, всегда будет наполовину кинетической и наполовину потенциальной. Переход одной из этих форм энергии в другую, который в различных частях волны идет в различном направлении для всей волны в целом, равен нулю. При прочих равных условиях энергия пропорциональна квадрату амплитуды. Все сказанное выше про энергию остается в силе и Для стоячих волн, которые будут рассмотрены нами в следующем параграфе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление