Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11. Наложение (суперпозиция) волн в каналах.

Периодические волны малой амплитуды, как мы их до сих нор рассматривали, могут налагаться друг на друга. Так как скорость с зависит от длины волны X, то перманентный характер волн, вообще говоря, при наложении теряется. Самый общий вид волнового движения с малой амплитудой может быть построен из элементарных иериодических волн, поверхностями которых являются синусоиды, и обратно —

волна общего вида может быть разложена на такие элементарные волны. Аналитически разложение производится с помощью ряда Фурье.

Следующие два простых случая наложения двух серий волн являются особенно важными.

a) При встрече двух серий волн одинаковой амплитуды и одинаковой, но противоположно направленной скорости образуются стоячие волны. Расстояние между двумя узлами или двумя пучностями равно половине длины бегущей волны. Складывая комплексные потенциалы (29), .10 обеих встречных серий волн, мы получаем комплексный потенциал стоячей волны.

откуда комплексная скорость получается равной

Движение частиц в вертикальных плоскостях, проходящих через пучности, вертикально. Стоячую волну можно ограничить такой нлоскостью; при этом получится движение, напоминающее отражение волн на воде от стены. Так же точно можно ограничить часть стоячей волны двумя вертикальными плоскостями и получить при этом стоячие волны в бассейне. При отражении от стены бегущая волна любой длины образует стоячую волну; в резервуаре же, ограниченном двумя вертикальными плоскостями могут образоваться лишь колебания определенного вида. Эти колебания можно представить себе возникшими при интерференции двух серий волн, идущих друг другу навстречу, причем половина длины врлны в каждой серии равна либо всей длине резервуара, либо длине его, деленной на целое число. Изучение стоячих волн в бассейнах иной формы требует особых методов.

b) Если две серии волн почти одинаковой длины волны и почти одинаковой скорости бегут в одном и том же направлении, то получается интерференционное явление того же характера, как известное в акустике явление биений. При этом образуются отдельные группы, волн, амплитуды которых нарастают с концов к середине группы. Каждые две такие группы отделены друг от друга промежутком, длина которого, примерно, равна длине группы и внутри которого жидкость находится в почти полном покое. Подобные группы волн не являются перманентными образованиями и скорость их перемещения иная, чем у волн, образующих эти группы в результате интерференции. "Групповая скорость" С, с которой распространяется вся групиа, как целое, равна:

Она зависит не только от скорости с и длины волны X, но, ввиду наличия члена с и от вида функции (34), 10, связывающей Вследствие этого поведение групп "волн тяжести" будет иное, чем групп капиллярных волн. Для волн тяжести, скорость которых в бесконечно глубоких каналах равна мы получаем С — Групповая скорость вдвое меньше скорости отдельных волн. Отдельная волна возникает на задней стороне группы и продвигается через груипу вперед, причем высота ее сперва увеличивается, а затем вповь убывает; на передней стороне группы воляа исчезает.

Для капиллярных волн, идущих со скоростью имеем . Отдельная волна возникает у фронта группы, отстает от группы во время ее перемещения и исчезает на задней стороне группы.

Групповая скорость, которая, заметим здесь, может быть определена для волнового движения любого рода, имеет важное динамическое значение; она является мерой потока энергии, связанного с волновым движением.

Из других форм волн в каналах следует назвать здесь изученное Ресселем, Буссинеском и другими авторами одиночные волны, возникающие при внезапном местном повышении уровня и имеющие перманентный характер. Далее следует отметить изученное еще значительно ранее Пуассоном и Коши движение жидкостей, состоящее в выравнивании кратковременных местных возмущений, возникающих, например, при погружении в жидкость или вынимании из нее твердого тела. При этом получаются волнообразные повышения и понижения всей поверхности, которые ослабляются по мере удаления; распространение их происходит с постоянным ускорением. Более важными, чем эти волны в каналах, являются трехмерные волны, возникающие на внешней поверхности жидкости от кратковременных местных возмущений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление