Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

d) ВИХРИ

15. Вихревые точки в неограниченной плоскости.

Кирхгоф изучал движение свободных вихревых точек в неограниченной плоскости. Обозначая через координаты, а через интенсивности вихревых точек мы, на основании уравнения (7) и (7), 1, § 3, получаем для комплексного потенциала потенциала скоростей и функции тока описывающих вызванное вихрями движение, следующие выражения:

Скорость в некоторой точке не совпадающей с какой-либо из вихревых точек, равна

Скорость вихревой точки мы найдем, если заметим, что ее движение вызывается потенциалом скоростей от всех остальных вихревых точек кроме ее самой, потенциал же скоростей самой вихревой точки на нее не действует. В суммах для и для нужно, следовательно, отбросить член,

соответствующий значению что мы обозначим штрихом у символа суммы Кроме того, координаты х и у следует заменить на Дифференциальные уравнения движения вихревых точек примут тогда следующий вид:

Можно указать ряд интегралов уравнений движения; так, например, "функция траектории"

сохраняет постоянное, независящее от времени, значение.

Далее "центр тяжести" системы вихрей, определяемый уравнениями

«охраняет неизменное положение. Наконец, остается неизменным и "момент инерции системы вихрей":

Эти четыре интеграла позволяют, в том случае, когда имеются только три вихревые точки, свести интегрирование уравнений движения к квадратурам и полностью описать движение.

Особенно просто движение в случае только двух вихрей. Оба вихря движутся по концентрическим окружностям с одинаковой угловой скоростью вокруг их общего центра тяжести. Если интентивности обоих вихрей равны по величине и обратвы по знаку, то центр тяжести их лежит на бесконечности; такого рода вихревая пара движется поступательно с постоянной скоростью по двум параллельным прямым.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление