Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

17. Вихри Кармана.

Особенно важным случаем движения отдельных вихрей является движение вихрей Кармана Это вихри, расположенные в виде двух рядов; они начинаются позади препятствия, стоящего в текущей жидкости, и перемещаются в направлении течения; или же они следуют за твердым телом, передвигаемым в покоящейся жидкости. Для плоского потока на явлении вихрей Кармана может быть построена теория сопротивления, испытываемого телом в идеальной жидкости, причем эта теория представляет существенный шаг вперед по сравнению теорией Кирхгофа-Рэлея 4, § 3.

Рис. 43.

Теория Кирхгофа-Рэлея основывается на предположении, что позади препятствия образуется область мертвой воды, простирающаяся до бесконечности и ограниченная двумя поверхностями (или линиями) разрыва. В действительности эти поверхности разрыва, которые физически и математически следует рассматривать как вихревые слои, являются очень неустойчивыми образованиями. Уже во время их возникновения они начинают распадаться вблизи края препятствия на отдельные вихри, которые в каждом слое следуют друг за другом, примерно, на одинаковых расстояниях. Момент каждого из этих отдельных вихрей равен циркуляции вокруг того куска поверхности разрыва, который, свертываясь, породил данный вихрь.

Карман рассматривает два ряда вихрей, расположенных на равных расстояниях друг от друга вдоль двух бесконечных параллельных прямых, причем моменты вихрей одного ряда между собой одинаковы и равны и отличаются знаком от моментов вихрей другого ряда. Поставим требование, чтобы все образование перемещалось с постоянной скоростью и в направлении параллельных прямых так, чтдбы составляющие скоростей всех вихревых точек в направлении, перпендикулярном нашим прямым, обратились в нуль. Этому требованию удовлетворяют два различные расположения вихревых точек на обеих прямых (рис. 43). В первом расположении вихри обоих рядов стоят друг против друга, а во втором они сдвинуты друг относительно друга на половину расстояния между двумя последовательными вихревыми точками. Изучение устойчивости этих расположений, произведенное по методу малых колебаний,

показывает, что первое расположение всегда неустойчиво; что касается второго, то оно будет устойчивым, если расстояние между обоими рядами и расстояние I между двумя последовательными вихрями в каждом ряду связаны соотношением

Ход рассуждений, приводящий к этим результатам, может быть нередан здесь только в общих чертах. Комплексный потенциал обоих рядов вихрей и скорость движения, вызываемого им в точке, не имеющей особенностей, ищут в виде (39) и (40) 15 § 3. Уравнение (41) 15 § 3 дает тогда скорость самих вихревых точек. Для исследования устойчивости варьируют координаты вихревых точек. При этом сначала все вихри, за исключением двух, предполагаются неподвижными; это дает для возмущений указанного очень частного вида условие устойчивости в виде (45). Далее может быть показано, что точно такое же условие устойчивости получается, если считать, что и все остальные вихри могут отклоняться от своего положения равновесия, причем устойчивость имеет место для возмущения весьма общего вида.

Скорость, с которой перемещается как целое все образованние, состоящее из обоих рядов вихрей, равна

или, по условию устойчивости

Если в жидкости перемещается со скоростью твердое тело, то вихри, образующиеся позади него при свертывании вихревых слоев, принимают, как мы уже указывали, на некотором расстоянии за телом устойчивое расположение. Применяя теорему о количестве движения, можно отсюда вычислить сопротивление, оказываемое жидкостью движению твердого тела (13 § 1).

Скорость, с которой тело движется относительно стабильного вихревого образования, будет За время

тело переместится относительно вихрей на отрезок I и, следовательно, за это время в каждом из вихревых слоев возникает но одному новому вихрю. Выделим мысленно часть жидкости, заключающую внутри себя движущееся тело и ограниченную достаточно удаленной от тела "контрольной поверхностью". Прирост количества движения этой части жидкости за время складывается из количества движения двух вновь возникших внутри нее вихрей и из переноса количества движения через ее поверхность с другой стороны. Это увеличение количества движения равно импульсу, т. е. интегралу по времени от сил давления, действующих снаружи на "контрольную поверхность". Эти силы давления и составляют ту силу, с которой тело действует на жидкость, преодолевая ее сопротивление, и которая равна по величине и обратна по знаку искомому сопротивлению.

Таким путем для сопротивления получается выражение

или, если воспользоваться условием устойчивости (45), (47)

Сравним полученное для сопротивления выражение с экспериментально-установленным квадратичным законом сопротивления

где есть скорость, с которой передвигается тело, надлежащим образом, выбранный параметр, характеризующий линейные размеры тела, и коэффициент сопротивления, т. е. множитель, зависящий только от формы, но не от размеров тела. Оба выражения совпадают, еслн

Совпадение вычисленных значений сопротивления с измеренными получается очень хорошее: правда, теория не дает возможности определить путей вычисления отношение которое приходится получать из опыта, путем промера картины потока.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление