Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

22. Теорема Кутта-Жуковского.

Для вычисления силы давления, оказываемого плоским потенциальным потоком на погруженный в него контур С, можно, но Блазиусу, объединить обе составляющие этой силы в одну комплексную величину:

и показать, что эта комплексная величина выражается в виде интеграла от функции комплексной переменной Для этого мы составим выражение

где интегрирование производится вдоль контура С в положительном направлении По теореме Бернулли мы имеем

откуда, при помощи несложных преобразований, получаем (51а)

Аналогичным образом можно получить и равнодействующий момент сил давления как вещественную часть некоторого контурного интеграла:

Уравнения (51а, 51b) называются формулами Блазиуса. Применимость их значительно шире, чем это требуется для большинства приложений. Справедливость их не нарушается и при наличии бесконечно больших скоростей на остриях и углах контура. Они остаются в силе и в том случае, когда поток, обтекающий

контур, имеет какие угодно особенные линии или точки, если только последние не лежат на самом контуре.

С помощью формул Блазиуса теорема Кутта-Жуковского доказывается легко. Разложим скорость регулярного вне контура потенциального потока в ряд, расположенный по убывающим степеням в и сходящийся вне некоторого круга

Но теореме Коши о вычете комплексной функции получаем тогда

Постоянные имеют простой механический смысл. Комплексная скорость на бесконечности равна а циркуляция равна постоянная должна быть чисто мнимой. Таким образом:

тем самым теорема Кутта-Жуковского доказана. Уравнение (52) дает нам подъемную силу по величине и направлению

Подобным же образом может быть получен момент подъемной силы и тем самым линия приложения последней

В это выражение, кроме постоянных входит еще и Чтобы придать ей механический смысл, вводят "момент циркуляции":

Разлагая последний на вещественную и мнимую часть

мы получаем следующие окончательные выражения для момента подъемной силы:

Теорема Кутта-Жуковского сама является только частным случаем одной более общей теоремы. Если поток не будет регулярным во всей области вне контура, а будет иметь там распределенные рагличным образом источники и вихри, то сила давления потока и ее момент получаются из уравнений (42Ь) и (43b), 13, § 2, если их написать для случая плоского потока. Положим, в частности, что поток содержим только изолированные источники с интенсивностями и вихревые точки с вихревыми моментами Обозначим через и соответственно через комплексные скорости, которые получаются в местах источников и вихревых точек после отбрасывания особенностей, соответствующих данному источнику или вихрю. Тогда комплексная сила давления потоку на контур будет равна:

Последний член есть подъемная сила, по Кутта-Жуковскому. Величина означает здесь, как и прежде, циркуляцию вокруг контура.

При соответственной специализации это уравнение может быть применено и к вычислению подъемной силы биплана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление