Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Закон Пуазейля.

Внутреннее трение жидкости проявляется в сопротивлении изменению формы элементов жидкости, причем это сопротивление зависит от скорости, с которой происходит изменение формы. Силы, стремящиеся восстановить начальную форму элемента жидкости (как это имело место в случае упругих тел) при этом не появляются.

Чтобы выразить это формулами, рассмотрим сначала простой и экспериментально хорошо известный случай, а именно течение через узкую трубку. Мы не будем при этом учитывать особых условий вблизи концов трубки.

Скорость текущей жидкости будет везде параллельна оси трубки. Все частицы с одинаковым расстоянием от оси трубки будут иметь одинаковую скорость и. Можно представить себе, что жидкость разделена коаксиальными цилиндрическими поверхностями на тонкие слои (laminae), внутри которых скорость везде одинакова. Поэтому это и подобные движения называются "ламинарными".

Как велика увлекающая сила, с которой каждый слой действует на прилежащий к нему слой? Ньютон ввел предположение, что эта сила пропорциональна поверхности и градиенту скорости. Таким образом, на слой радиуса действует со стороны граничащего с ним изнутри слоя следующая сила:

Здесь I есть длина той средней части трубки, которой мы интересуемся. Знак минус стоит потому, что отрицательно.

Величина есть коэффициент внутреннего трения. Ньютон предположил, что он не зависит от давления.

Наш слой, толщина которого пусть будет действует в свою очередь на граничащий с ним снаружи слой с силой

Так как ускорение равно нулю, эти силы уравновешиваются разностью давлений на основания цилиндра. Таким образом,

После деления на и перехода к пределу это уравнение припимает следующий вид:

Это уравнение можно сейчас же проинтегрировать:

При этом постоянная интегрирования выбрана так, чтобы и было равно нулю на стенке трубки Действительно, в подавляющем большинстве случаев жидкость прилипает к стенкам. Она не скользит даже, когда стенки не смачиваются ею.

Количество жидкости, протекающее за единицу времени сквозь трубку, равно

Это и есть закон Пуазейля. Он проверен и подтвержден многочисленными опытами. Он остается в силе и при больших скоростях, если только движение остается ламинарным.

Таким образом, вышеупомянутое предположение Ньютона подтверждено экспериментально. Однако, оно применимо только в простейших случаях. Чтобы облегчить обобщение, придадим этому предположению следующий вид: если мы возьмем ось перпендикулярно к слоям (параллельным оси в направлении увеличивающейся скорости, то увлекающая (параллельная слоям) сила на единицу площади будет

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление