Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Фундаментальные интегралы линеаризованных дифференциальных уравнений

Под фундаментальным интегралом линейного дифференциального уравнения в частных производных эллиптического типа разумеют простейшее решение,

обладающее той же особенностью, какой обладает функция Грина этого уравнения. Например, фундаментальным интегралом уравнения Лапласа в пространстве будет функция а Для уравнения Лапласа в плоскости — функция Здесь мы употребляем это слово в обобщенном смысле, так как мы имеем здесь дело не с одним дифференциальным уравнением в частных производных, а с системой четырех таких уравнений. Общие методы отыскания фундаментальных интегралов вполне пригодны и для этих дифференциальных уравнений. Однако, для краткости мы предпочитаем здесь найти фундаментальные интегралы с помощью более частных приемов.

1. Линеаризованные уравнения в форме Стокса.

Когда поверхности, ограничивающие жидкость, неподвижна, естественнее всего взять неподвижную систему координат. В этой системе линеаризованные уравнения имеют вид (10) § 1. Если не зависят от времени, движение называется стационарным. Тогда в (10) производные по времени будут равны нулю. Далее мы пренебрежем но сравнению с Это пренебрежение имеет только ту цель, что оно приводит линеаризованные уравнения к привычному виду, когда стоит вместо Сами же дифференциальные уравнения от этого не делаются Проще. Таким путем мы получаем уравнения Стокса для медленного стационарного движения жидкости:

Чтобы без необходимости не усложнять вычислений, предположим, что функции отличны от нуля только в некоторой конечной области что они везде однозначно дифференцируемы. есть аналог плотности в уравнении Пуассона для потенциала. Найдем теперь аналог для выражения потенциала через плотность (ньютонов потенциал).

Если мы продифференцируем первое из уравнений (1) по и просуммируем по мы получим

По формуле Пуассона, интеграл этого уравнения, исчезающий на бесконечности, будет равен

При

Область интегрирования произвольна. Однако, ниже, при интегрировании по частям, будет сделано предположение, что X, равны нулю на границах области интегрирования. Это предположение не имеет, впрочем, существенного значения Уравнение (1) принимает теперь следующий вид:

Так как мы получим после нового применения формулы Пуассона;

С помощью трех интегрирований по частям мы получим аналог выражения для потенциала через плотность

При

Выражение (3) представляет (внутри той области, по которой производилось интегрирование) одно из бесконечного множества решений уравнения (1). Остальные решения мы получим, если прибавим к (3) произвольные решения соответствующих (1) однородных уравнений, т. е. решения уравнений

Уравнения (3) и (4) найдены Лоренцем (Abhandlungen, стр. 32, Teubner 1907).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление