Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Наиболее общие линеаризованные дифференциальные уравнения.

Если, как и раньше, пренебречь разницей между то можно написать, согласно уравнению (10) § 1, упомянутые в заголовке уравнения в виде:

Для здесь опять получается выражение (2). Если мы его подставим в эти уравнения и возьмем для выражение (7), мы должны будем интегрировать дифференциальные уравнения

Так как зависят здесь только от но не от мы можем по методу, изложенному в 2, исходить из дифференциального уравнения

Предположим, что зависит только от Тогда

Поэтому уравнение (15) принимает вид

Решение этого уравнения:

причем

В самом деле, мы имеем:

Таким образом, при вычислении производные от подъинтегрального выражения сокращаются и остается только производная по верхнему пределу. Поэтому

Вводя новую переменную интеграции, мы найдем

В силу

имеем:

Мы видим теперь, что удовлетворяет уравнению (15а). Мы нашли, следовательно, решение уравнения (15). Если подставить его в дифференциальное уравнение для то это уравнение можно сейчас же проинтегрировать

Так как мы предположили, что все X, на границах области интегрирования исчезают, то мы получим, после интегрирования по частям и других допустимых преобразований

причем

Величина как уже сказано, дается уравнением (2) или, лучше, последним из уравнений (3). Эти фундаментальные интегралы найдены в 1906 г. Озееном. В двухмерном случав соотношения аналогичны. Для имеем в этом случае следующие выражения:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление