Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Стоксова формула сопротивления и связанные с ней формулы

1. Поток вокруг маленького шара.

Если шар совершает с малой скоростью равномерное поступательное движение, то поток вокруг него будет стационарным. Тогда производные по времени от в дифференциальных уравнениях (6), § 1, будут равны нулю. Пусть ось х будет иметь направление скорости шара Если очень мало, то и их производные будут также налы. Поэтому мы можем уже в дифференциальных уравнениях пренебречь их

произведениями. Таким образом, мы получаем [ср. уравнение 5, § 2], следуя Стоксу, уравнения:

При решении этих уравнений должны быть учтены следующие граничные условия. На поверхности шара

должно быть

На бесконечном расстоянии должно быть

В наших формулах величины суть координаты и скорости в неподвижной координатной системе, причем все величины рассматриваются для того момента времени, когда центр шара как раз поравнялся с началом координат. Если от этой координатной системы перейти к системе, движущейся вместе с шаром (координаты ниже пункт 2 этого параграфа), то составляющие скорости будут уже

В выражениях (3) и (4) § 2 мы уже имеем решения наших уравнений. Если мы положим

то мы будем иметь с точностью до множителя

Эти выражения содержатся уже как частный случай в уравнениях (3), (4) § 2, если мы там возьмем силу только в направлении а область действия X, сконцентрируем в ближайшей окрестности точки так, чтобы равенство

имело место несмотря на малость области интегрирования. В том, что и будут решениями уравнения (1), если их подставить вместо можно убедиться также следующим образом. В силу условия неразрывности можно искать решения всех однородных линеаризованных уравнений в виде

Это получается также из уравнений § 2, если в уравнении (3), § 2, считать отличной от нуля только составляющую стянуть ее область действия к точке

и положить

Эти выражения для удовлетворяют уравнению (1), если

Уравнениям этим удовлетворяют функции

Это дает

Так как то можно также положить Тогда мы получим как раз наши (ср. замечание в конце 2, § 2).

Из этих двух различных решений образуем новое решение уравнения (1)

где постоянные. Граничные условия на поверхности шара дают для определения этих постоянных соотношения:

откуда

Таким образом, формулы

содержат решение нашей задачи.

Составляющая по оси от силы, о которой жидкость действует на элемент поверхности шара, будет равна, согласно уравнению (8) § 1:

Здесь обозначают составляющие единичного вектора, проведенного перпендикулярно к наружу. Так как

то равнодействующая этих сил имеет составляющие:

Гаким образом, равнодействующая направлена обратно направлению движения шара. Она представляет то сопротивление, которое шар должен преодолевать при своем движении. Мы получаем закон сопротивления Стокса.

Маленький шар, совершающий медленное поступательное движение в вязкой жидкости, испытывает сопротивление

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление