Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Более точное вычисление потока вокруг шара.

Если желательно точнее вычислить поток, то естественно исходить вместо уравнений в форме Стокса, из линеаризованных дифференциальных уравнений [ср. § 2, (6)], написанных в виде:

В этих уравнениях сделаны как раз те упрощения, которые наиболее целесообразны для системы координат с равномерным поступательным движением. Пусть начало координат лежит в центре шара и пусть ось будет параллельна направлению движения. Типичным решением (3) являются выведенные в 2, § 2 фундаментальные интегралы

Другими решениями будут

Положим опять

и составим так же, как и выше, решение нашего дифференциального уравнения в виде линейной комбинации:

Чтобы удовлетворить граничным условиям

на поверхности шара, нужно приближенно вычислить значение составляющих скорости для малых Мы найдем

При составлении член выпадает, так что главным членом будет Заключенные в скобки члены будут поправочными. Они распадаются на два рода членов, а именно, некоторые из них меняют свой знак вместе с потому что в то время как другие при перемене знака остаются без изменения.

Только последние члены могут иметь влияние на сопротивление, так как оно одновременно с меняет свой знак (напомним, что коэффициенты также

меняют знак одновременно Отбрасывая поэтому члены первого рода, мы получим:

Из этого выражения для и из приведенного выше значения и? вытекает для малых значений что

В силу граничных условий

при , постоянные должны удовлетворять условиям:

откуда

Так как по формулам 2, § 2 мы имеем

то мы получим для составляющих скорости и для давления следующие окончательные выражения:

Опуская попрежнему те члены, которые остаются без изменения, когда меняет знак, мы получим для малых значений следующие приближенны формулы:

Равнодействующая сил, с которыми жидкость действует на шар, вычисляется из этого выражения точно таким же способом, как в 1. Единственная

разница заключается в том, что здесь в знаменателе. стоят новый множитель Таким образом, сопротивление будет:

Так как при наших вычислениях мы пренебрегали членами порядка по сравнению с 1, мы можем сопротивление писать в виде

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление