Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Плоская задача.

Развитые нами общие соображения значительно упрощаются в отдельных частных случаях. Разберем несколько примером подобного рода.

Положим, что составляющая смещения и составляющая массовых сил обращаются в нуль, и вся картина движения не зависит от координаты

Прежде всего покажем, что в этом случае потенциалы для вектора массовых сил могут быть выбраны таким образом, чтобы равнялись нулю, не зависели от .

Действительно, пусть мы выбрали, каким-нибудь способом, эти потенциалы, тогда и не зависит от координаты следовательно

и значит — гармоническая функция. Но при атом существует для нее первообразная гармоническая функция Если мы выберем за скалярный потенциал внешних сил функцию то, очевидно, градиент разности

будет вектором еоленоидальным.

Так как очевидно, уничтожается, то этот вектор не имеет составляющей по оси

Потенциал как легко видеть, может быть взят за скалярный потенциал. Далее, для того чтобы наше утверждение было полным, докажем, что для соленоидального вектора X, независящего от и лежащего в плоскости можно взять векторный потенциал в виде Это вытекает из того, что дифференциальные уравнения

совместны, так как благодаря соленоидальности вектора.

Точно так же вектор смещения, который для плоской задачи не зависит от и лежит в плоскости может быть разбит на два слагаемых потенциальное и соленоидальное, не зависящих от и лежащих в плоскости

Повторяя теперь все рассуждения, проделанные нами для общей задачи и замечая, что все поправочные слагаемые могут быть нами выбраны всегда так, чтобы составляющая вектора смещения по оси уничтожалась и воя картина движения не зависела от координаты мы придем к разбиению вектора на два слагаемых:

удовлетворяющих волновым уравнениям и таких, что

Далее, рассуждая аналогично прежнему, приходим к уравнениям для потенциалов и :

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление