Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Граничные (краевые) условия. Полупространство.

Задача о распространении упругих колебаний в неограниченной среде, как мы выяснили в предыдущем параграфе, совершенно эквивалентна задаче об интегрировании системы волновых уравнений, и поэтому может быть разрешена элементарно.

Однако, когда мы, имеем дело с распространением упругих волн в ограниченном пространстве, то здесь начинают играть чрезвычайно существенную роль так называемые граничные или краевые условия. Для задачи теории упругости естественными граничными условиями будут такие, при которых на краю задают соотношения между вектором смещения и так называемым тензором напряжения.

Как известно из предыдущих глав этой книги, тензором напряжения называется симметричный тензор второго ранга:

компоненты которого иногда обозначаются

Составляющие этого тензора в упругом теле связаны о производными от вектора смещения при нашем ояособе выбора постоянных следующей линейной зависимостью (закон Гука):

Естественные граничные условия должны давать зависимость между составляющей тензора напряжения в направлении нормали, к площадке границы тела, которую называют вектором напряжения, действующим на площадку границы, и вектором смещения.

Самыми простыми среди них будут так называемые условия на свободной границе и условия на закрепленной границе.

В первом случае уничтожается вектор напряжения, действующего на площадку границы:

Во втором случае, на границе обращается в нудь вектор смещения:

Если мы, решая задачу, отыскиваем потенциалы или смещения, то в формулы (19) или (20) необходимо подставить или Тогда краевые условия будут выражены в тех же неизвестных, относительно которых составлены уравнения.

Рассмотрим задачу о распространении упругих колебаний полупространстве.

Пусть мы выбрали координатные оси таким образом, что плоскость представляет собой границу нашего полупространства, а ось у направлена по нормали вглубь упругой среды. Ограничимся, для простоты, плоской задачей, то есть будем считать, что

Как мы видели в предыдущем пункте, в этом случае наша задача сводится просто к решению двух волновых уравнений (15) и (16).

Для того/чтобы остановиться на чем-нибудь определенном, мы разберен случай, когда граница свободна. Граничные условия примут при этом вид:

Третье условие выполняется автоматически, а левые части двух первых могут быть выражены через потенциалы. Простые выкладки дают:

Обозначим для удобства

Так как обе постоянные Ламэ всегда положительны, то

Окончательно наша задача формулируется как задача интегрирования уравнений:

с граничными условиями:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление