Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Плоские волны. Отражение плоских продольных волн.

В плоской задаче о распространении упругих колебаний плоской продольной волной называется такое решение уравнений упругости (23) и (24), в котором Векторный потенциал тождественно уничтожается, а скалярный потенциал представляется формулой вида (44) о вещественными коэффициентами.

Плоской поперечной волной называется такое решение этих уравнений, в котором скалярный потенциал уничтожается, а векторный потенциал представляется в виде (44) с вещественными коэффициентами.

Так как очевидно, что коэффициент I не может обратиться в нуль, то его можно, не уменьшая общности, считать равным единице. Полагая для удобства мы можем записать продольную плоскую волну в виде:

к поперечную плоскую волну в виде:

Если мы рассматриваем задачу о колебании полупространства причем А вещественное число мы будем называть продольной волной, идущей по направлению к границе, решение вида:

а продольной волной, идущей но направлению от границы, решение вида: (48)

Точно так же в поперечной волне, идущей к границе, потенциал представляется формулой:

а в поперечной волне, идущей от границы — формулой:

Геометрический смысл такого названия совершенно очевиден. В волнах, идущих к границе, плоскости, на которых потенциал сохраняет заданное постоянное значение, то есть плоскости

при возрастании передвигаются так, что направление их движения I, характеризуемое косинусами:

образует тупой угол о осью у.

В волнах же, двигающихся от границы, направление этого движения, характеризуемое косинусами:

и

образует острый угол о осью у. Проделанный нами лримере общих уравнений упругости анализ может быть целиком приложен и к более простым случаям задачи о распространении упругих волн, когда вопрос сводится к одному волновому уравнению. В равной мере это относится и к теории отражения, к которой мы переходим. Однако, ввиду того что для более простых случаев все рассуждения будут крайне простыми и. не представляют никакого интереса, мы остановимся на самом сложном случае общей упругой задачи.

Нетрудно убедиться, что в чистом виде ни волна, идущая к границе, ни водна, идущая от нее, не удовлетворяют однородным граничным условиям ни на свободной, ни на закрепленной границе.

Однако, если составить решение задачи путем наложения нескольких таких волн, то этим условиям можно удовлетворить.

Физически интересной является задача: по заданной волне, двигающейся к границе и называемой обычно падающей волной, определить две отраженные волны, идущие от границы, продольную и поперечную, таким образом, чтобы сумма волны падающей и двух отраженных удовлетворяла граничным условиям.

Для того чтобы остановиться на чем-нибудь определенном, рассмотрим отражение плоской продольной волны от свободной границы. Пусть заданная падающая продольная волна имеет вид:

где очевидно

Будем искать отраженные волны в виде:

Подставляя в условия и получим уравнения для определения постоянных А и В:

Отсюда легко определяем значения постоянных А и В:

Знаменатель полученных дробей всегда положителен и решение всегда имеет смысл.

Отметим некоторые геометрические следствия формул (51) и (52). Если назвать углом падения волны угол который составляет нормаль к поверхности

с направлением отрицательных у, а углами отражения и - углы, которые составляют поверхности

с направлением положительных y-ков, то для отраженной продольной волны угол падения равен углу отражения а для отраженной поперечной отношение синуса угла падения к синусу угла отражения равно отношению скорости волны продольной к скорости волны поперечной:

Этот закон известен из элементарной физики.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление