Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Отражение поперечных волн.

Задача отражения поперечных волн типа (46), не представляет никаких новых трудностей, если и решается совершенно аналогично первой.

Если падающая волна задана формулой:

где то отраженные волны можно искать в виде:

Подставляя в формулы получим:

откуда, предполагая находим постоянные:

Формулы (59), (60) и (61) опять, как прежде, дают закон синусов.

Однако, случай дает уже. нечто принципиально новое.

Этот случай называется обычно случаем полного внутреннего отражения. Одно из характерных его свойств заключается в том, что синус угла отражения продольной волны, вычисленный по закону синусов

оказывается больше единицы и, следовательно, вещественного угла отражения для продольной волны в обычном смысле слова не существует.

Поэтому наша старая постановка задачи теряет смысл. Мы не можем в данном случае требовать, чтобы продольный потенциал соответствовал в этом случае отраженной волне. Однако, если вместо нашего первоначального требования поставить себе просто условие ограниченности вектора представляющего продольную волну, то задача решается вполне и притом единственным образом. Для ее разрешимости необходимо только, чтобы функция была везде ограничена.

Мы, приходим к следующей формулировке.

Для заданной падающей поперечной волны (59) найти такую отраженную поперечную волну, а также продольное возмущение с ограниченными смещениями, чтобы сумма их удовлетворяла граничным условиям.

Разберем сначала частный случай задачи. Пусть в формуле (59) функция является комплексной и представляет собой просто значения на вещественной оси некоторой функции комплексного переменного, регулярной в верхней полуплоскости, производная которой ограничена в этой полуплоскости.

Оставляя в стороне доказательство единственности, дадим здесь окончательный результат.

Решение задачи мы будем искать в виде:

где и какие-то постоянные.

Благодаря сделанному нами допущению, обе эти формулы имеют определенный смысл.

Не трудно далее определить постоянные с помощью совершенно аналогичных прежнему выкладок. Мы получим таким образом:

Формулы получаются из (60), (61) (62) и (62а) простой заменой на

Совершенно аналогично решается задача для того случая, когда представляет собою аналитическую функцию, заданную не в верхней, а в нижней полуплоскости.

При этом формулы (60) и (61) переходят в:

а коэффициент даются формулами:

Решение этих двух частных задач позволяет получить ответ на вопрос и в общем случае.

Пусть некоторая вещественная функция, определенная при всех вещественных значениях аргумента. Допустим, что эта функция имеет непрерывную первую производную, а вторая производная существует и удовлетворяет неравенству:

Функция может быть представлена в виде:

причем функция представляет собою функцию комплексного переменного, определенную и регулярную в верхней полуплоскости, обладающую тем свойством, что ограничена в этой полуплоскости, а функция является регулярной в нижней полуплоскости и имеет там ограниченную производную.

Доказательство этого утверждения элементарно. Вещественная часть функции может быть построена как гармоническая функция, определенная и ограниченная в верхней полуплоскости комплексного переменного х и принимающая на вещественной оси значения, совпадающие с Совершенно также вещественная часть представляет собою ограниченную гармоническую функцию в нижней полуплоскости. Вещественная часть на вещественной оси совпадает с

Непосредственно очевидно, что значения вещественных частей в точках, симметричных относительно вещественной оси, совпадают.

Из принципа симметрии Шварца вытекает, что их инимые части в этих точках отличаются знаком.

Таким образом будут представлять собой сопряженные функции. ограничений, наложенных нами на вытекает ограниченность

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим конформное преобразование переводящее верхнюю полуплоскость в круг единичного радиуса.

Функция переходит при этом в функцию Мы будем иметь:

и так как, по предположению, ограничена при вещественных значениях х, то будет ограниченной и на окружности но при этом будет ограничена везде внутри круга Так как то наше утверждение доказано.

Перейдем к решению общей задачи об отражении, когда падающая волна представляется в виде:

где произвольная вещественная функция. При мы разобьем на два слагаемых, пользуясь только что изложенной теорией. Мы получим при этом

Решая затем задачу, для каждого слагаемого порознь, мы получим ответ, складывая результаты.

Таким путем мы получим формулы:

Так как постоянные а также и являются комплексными еопряженными, то мы можем записать результат в виде:

Отметим один случай, особенно часто встречающийся при изложении этих вопросов, когда функция задана формулой:

При этом поперечный отраженный потенциал будет иметь вид:

Так как по модулю равно единице, то амплитуда отраженных волн будет равняться амплитуде падающих.

Энергии той и другой волны будут совпадать. Поэтому этот случай получил название полного отражения.

Продольная волна при этом будет затухать по экспоненциальному вакону возрастанием координаты у:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление