Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Условия правильности однородных, комплексных решений.

Мы изучили решения волнового уравнения, являющиеся однородными функциями нулевого порядка относительно в областях (5) и (6) порознь. Граница этих областей — конус (8), вообще говоря, является поверхностью сильных разрывов, так как нормальные производные от решений (17) и от решений (23), вообще говоря, будут бесконечными на поверхности этого конуса.

Если мы теперь будем "склеивать" вдоль конуса (8) однородные решения нулевого порядка, значения которых на поверхности этого конуса совпадают, то этот конус будет правильной поверхностью разрыва для составного решения.

Действительно, непосредственный подсчет убеждает в том, что касательные производные от этого решения непрерывны благодаря тому, что функции и стоящие в формулах (23), дифференцируемы; предельные значения

в формулах (17) также будут дифференцируемы, так как их вещественные части дифференцируемы по контуру два раза.

Нормальные же производные от обоих решений, вообще говоря, всюду стремятся к бесконечности определенного знака.

Далее, очевидно, что конус (8) удовлетворяет уравнению характеристик (40).

Таким образом, единственное условие, которое необходимо наложить на наше "склеенное" из двух частей решение, заключается в том, что его предельные значения извне и изнутри должны совпадать.

Полезно отметить, что при этом вещественные значения в области (5) вполне определяются вещественными значениями в области (6), если мы считаем решение однородной функцией нулевого порядка от во всем пространстве.

Действительно, при этом значения вещественной части функции комплексного переменного определены на контуре области и, следовательно, однозначно определены и внутри. То же относится, очевидно, и к мнимым значениям.

Обратное, вообще говоря, неверно, если не сделать никаких дополнительных предположений. Исходя значений в области (5), мы не можем однозначно определить значения в

Одну из функций мы можем выбрать совершенно произвольно, так как только сумма их определена условиями совместности. При этом другая определяется совершенно однозначно.

В дальнейшем, мы всегда будем выбирать это продолжение решения в (6) наиболее удобным для нас способом.

Отметим далее еще одно важное обстоятельство. Пусть в формуле (23) одна из функций о или имеет разрыв первой производной в какой-нибудь изолированной точке

При этом функция и также будет иметь разрывы первых производных на полуплоскости, которая определяется уравнением:

Можно непосредственно проверить, что эта полуплоскость является характеристикой и что в этом случае функция и также удовлетворяет кинематическим и динамическим условиям совместности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление