Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Задача об отражении продольных волн. Случай комплексных смещений.

Совершенно аналогично решается задача в том случае, когда не потенциал а продольная составляющая вектора смещения является однородной функцией нулевою порядка и выражается в комплексном виде.

Пусть, подобно прежнему, в момент в точке подействовал какой-то источник колебаний и в течение промежутка времени

движение является чисто продольным, а вектор смещения внутри конуса (37) выражается формулами:

где определено уравнением а во внешности этого конуса уничтожается. Условие (24) потевдиальности вектора если вспомнить связь между и записывается в виде:

Для того чтобы условия совместности для были выполнены, мы потребуем, чтобы функции и были чисто мнимыми для значений с обеих сторон купюры

Будем искать решение задачи для в виде:

опять представляют собою решения выраженные с помощью комплексной переменной. Положим

где определено уравнением (43) и

где удовлетворяет условию (44).

Так как вектор должен быть потенциальным вектором, то мы получше подобно прежнему:

Точно так же условие соленоидальностн вектора записывается в виде:

Если подставить выражения смещений в наши граничные условия (21) § 1, то мы подучим после несложных выкладок:

(см. скан)

Отсюда получаем, как прежде, систему уравнений для определения

(см. скан)

Решая эту систему и пользуясь при этом равенством (50), получим:

(см. скан)

Здесь через обозначены числители полученных дробей.

Функции и могут быть выбраны так, чтобы на границе области комплексности смещения уничтожались.

Таким образом задача решена.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление