Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Отражение поперечных волн. Случай комплексных потенциалов.

Аналогично тому, как рассматривается отражение продольных волн, мы можем рассмотреть задачу об отражении волн поперечных.

Однако, здесь нам придется встретить несколько новых моментов. Пусть заданная поперечная волна имеет вид:

где определяется уравнением:

Аналогично прежнему допустим, что движение в промежутке вполне характеризуется поперечным потенциалом вида (68). Формула (68) дает значение потенциала поперечных волн внутри конуса

Пусть, кроме того, функция чисто мнимая на обоих "берегах" купюры следовательно, на поверхности конуса (70) мы будем иметь нудь.

Во внешности конуса (70) мы предположим, что в рассматриваемый промежуток времени будет покой.

Аналогично прежнему, будем искать решение, удовлетворяющее граничным условиям во все моменты времени, в виде

где

и

где

и

Далее, мы можем формально подставить наши выражения для потенциалов в условия (25) и, таким образом, определить . Не повторяя здесь выкладок, которые вполне аналогичны предыдущим, мы приведем окончательный результат:

Принципиально новым в отношении функции (6), окзывается при этом то обстоятельство, что эта функция уже не является чисто мнимой на всем отрезке который соответствует грапице области комплексности соответствующей переменной 66. Действительно, радикал становится чисто мнимой величиной на отрезках При этом множитель перед функцией во второй формуле (76) становится существенно комплексным, так как на этих отрезках функция по предположению, чисто мнимая, то ее мнимая часть существенно отлична от нуля и, следовательно, существенно комплексна и имеет вещественную часть, неравную нулю.

Таким образом, мы не можем уже считать потенциал равным нулю во внешности конуса

Второй существенно новый момент, который мы встречаем в этой задаче, заключается в том, что не все отраженные продольные лучи будут итти вглубь упругой среды, то есть с возрастанием не на всех отраженных лучах будет возрастать . Действительно, лучи, которые соответствуют значениям лежащим на отрезках

и которые возникнут в результате отражения некоторых образующих конуса (70) (как нетрудно убедиться, вспомнив закон соответствия между комплексным переменным и направлением луча, разобранный нами - подробно ранее), пойдут иараллельно плоскости следовательно, не выйдут из этой плоскости. На этих лучах будет всюду

Падающие лучи, соответствующие комплексным значениям встречают нлоскость внутри гиперболы:

и, очевидно, заполняют всю внутренность, ограниченную верхней ветвью этое гиперболы (рис. 51).

На рисунке эта область обозначена цифрой

Точкам самой верхней ветви гиперболы отвечает вещественный отрезок

частям этого отрезка соответствуют две части ветви гипербола уходящие на бесконечность.

Легко показать, что отраженные лучи берущие пачало на точках эти: частей, пойдут по касательным к гиперболе. Действительно, значения и при должны совпадать. Значения же 64 в промежутках соответствуют плоскостям, касательным к конусу (70), которые пересекают плоскость по касательным к гиперболе (78).

Таким образом, зпачепия а с ним и из этих промежутков должны при давать касательные к гиперболе, что и требовалось доказать. Нолукасательные к гиперболе, являющиеся отраженными лучами 6б, очевидно, пойдут вверх, то есть все их точки будут иметь координату большую, чем в точке касания. Эти полукасательные заполнят в плоскости у части, обозначенные на рисунке цифрой II (рис. 61).

Рис. 61.

Очевидно кроме того, что в окрестности точек, принадлежащих областям II, в пространстве (х, будут проходить лучи, соответствующие Комплексным значениям и вблизи этих точек покоя не будет.

Граничные условия, о которых мы заботились внутри области комплекс ности то есть в точках, принадлежащих внутренности гиперболы (области не будут удовлетворены в точках II, если не распространить каким-либо способом наше решение на всю область.

Обе эти трудности, как удовлетворение граничных условий, так и выполнение условий совместности, можно легко преодолеть введением в рассмотрение отраженных поперечных волн вне конуса (77).

С этой целью воспользуемся теми же комплексными решениями, которые получаются в областях, где 96 имеет вещественные значения.

Как было подробно разобрано в § 2, построим две системы касательных полуплоскостей к конусу (77). Через каждую образующую этого конуса, которая является отраженным лучом, то есть соответствует верхнему "берегу" купюры проходят две такие полуплоскости. Для образующих, соответствующих отрезкам одна из этих полуплоскостей в пересечении с плоскостью дает как раз ту полукасательную к гиперболе (78), которая служила отраженным лучом . Для всех значений эта полуплоскость будет принадлежать к одной системе, а для значений к другой.

Эта полуплоскость будет обладать тем свойством, что для той ее части, где значения координаты длявезх ее точек будут больше, чем Эти полуплоскости мы назовем отраженными.

Для второй полуплоскости, проходящей через ту же образующую, всегда можно указать такие точки, в которых меньше любого числа.

Две касательные отраженные полуплоскости, соответствующие значениям конусом (77) и плоскостью , отсекает некоторые области пространства, внешние но отношению к конусу (77) и граничащие с областями II на плоскости . Назовем эти области областями непрямых возмущений. Смысл этого названия выяснится далее.

Внутри этих областей пространства расположены все отраженные полуплоскости.

В соответствии с тем способом продолжения комплексных решений, который изложен нами в § 2, мы положим, что внутри областей непрямых возмущений решение (66) определяется теми же формулами, что и внутри конуса (77), но за переменную взят тот корень уравнения (75), который сохраняет постоянную величину на отраженных полуплоскостях.

Выполнение условий совместности при этом очевидно. Граничные условия также будут выполнены, в чем легко убедиться непосредственной подстановкой потенциалов в условия (25) § 1 для областей II.

При такой подстановке левые части этих условий формально не изменятся, в них будет отсутствовать лишь член с Так как функция чисто мнимая, то вещественная часть произведения ее на любой множитель уничтожается. Добавляя к левым частям (25) члены, равные нулю, мы легко проверим их выполнение.

В этом явлении есть общие черты с некоторыми результатами § 1. Как здесь, так и там решения, полученные внутри области, где основная переменная является существенно комплексной, принимая значения, зависящие от двух вещественных параметров, годятся в областях, где она принимает значения, зависящие от одного вещественного параметра, и наоборот. Конечно, приэтом формально одинаковые формулы в различных областях получают различное содержание.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление