Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Задача Коши для упругого полупространства в двух измерениях

1. Постановка задачи. Формула Грина.

В теории интегрирования волнового уравнения:

где А заданная функция основной является так называемая задача Копта. Математически эта задача ставится как задача отыскания интеграла уравнения (1), удовлетворяющего так называемым начальным условиям:

К решению этой задачи мы и приступаем.

На предыдущих страницах мы встречались уже с так называеиой формулой Грина для двух решений волнового уравнения.

Пусть и непрерывное со вторыми производными решение уравнения:

а такое же решение уравнения:

Рассмотрим область В трехмерного пространства ограниченную поверхностью состоящей из конечного числа кусков, имеющих непрерывно меняющуюся касательную плоскость.

Тогда справедлива следующая формула:

где через обозначена операция:

а — направление внутренней нормали. В формуле (4) очевидно элемент поверхности в пространстве элемент объема этого пространства.

Формула (4) выведена в предположении, что , имеют непрерывные вторые производные. Однако, она сохраняет смысл, например, и в том предположении, что одно из этих решений является правильным разрывным решением. Докажем это. Пусть, для простоты, внутри объема В имеется одна поверхность разрыва которую мы обозначим . Выделяя эту поверхность разрыва двумя близкими параллельными поверхностями мы разобьем оставшийся объем на две части лежащие по разные стороны поверхности разрыва. Границей объема будет служить поверхность и часть поверхности S.

Границей аналогично, будет и часть поверхности Применяя к каждому из этих объемов формулу (4), получим:

Складывая эти результаты, будем иметь:

Переходим теперь к пределу, устремляя поверхности поверхности разрыва При этом сумма поверхностей будет стремиться к поверхности а сумма объемов к объему В. Интегралы по в пределе сократятся, так как пределы на поверхностях и в силу условий совместности, будут отличаться только знаком из-за перемены направления нормали. Окончательно мы будем иметь:

Эта формула и представляет собой формулу Грина для объема В.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление