Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Решение задачи Коши по методу Вольтерра.

Обозначим черев объем, ограниченный плоскостью поверхностью конуса (8). Выделим из линию (10) поверхностью малого цилиндра радиуса описанного вокруг нее. Уравнение этого цилиндра будет:

Обозначим полученный объем через Применим теперь формулу Грина к искомому решению и фундаментальному решению в объеме Поверхность состой из части поверхности конуса (8), которую мы назовеи части поверхности цилиндра (11), которую мы назовеи и части плоскости которую мы обозначим

Применение формулы Грина дает нам:

На поверхности подинтегральное выражение обращается в нуль. Обращая внимание на то, что на поверхности уничтожается и

а на поверхности обращаются в нуль мы ножем переписать наш результат в виде:

Из формулы (9) вытекает:

Подставляя эти результаты в (12), получим:

Обозначим черев I окружность пересечения цилиндра (11) с плоскостью Интеграл по может быть записан в виде:

Посмотрим, каков предел этого интеграла при По теореме о среднем

где значение в некоторой точке на окружности Допустим, что отличается от на величину которая равномерно стремится к нулю вместе с При этом

где стремится к нулю. Предполагая, что ограничено, легко видим, что

Кроме того предполагая, что также ограничено, легко убеждаемся, что

имеет пределом нуль.

Перейдем к пределу в формуле (12), устремляя к нулю. Мы получим:

Продифференцируем эту формулу При этом

йнтеграл

зависит от как явно, так и благодаря тому, что граница области интегрирования является переменной. То самое относится, очевидно, и к тройному интегралу, взятому по В. Однако, в данном случае легко видеть, что переменность границы не сказывается при однократном дифференцировании. Действительно, в силу того, что подинтегральная функция уничтожается на границе области интегрирования, мы можем слегка расширить эту область, превратив ее в область, независящую от При этом мы непрерывно продолжим подинтегральное выражение в эту область с помощью тождественного нуля. Нетрудно видеть, что при этом можно будет дифференцировать по параметру полученный нами интеграл. Возвращаясь затем к старой области, мы убеждаемся, что производная по параметру от обоих рассматриваемых интегралов равна интегралу от производной. Принимая во внимание это обстоятельство, мы получим:

Перенося члены, содержащие неизвестное в одну часть, получим окончательный результат:

Метод Вольтерра им же был применен и к изучению упругих волн в неограниченном пространстве. Не останавливаясь на этом, перейдем сразу к задаче о распространении упругих волн в полупространстве при заданных начальных, и граничных условиях.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление