Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Фундаментальные решения.

Построим два основных фундаментальных решения уравнений упругости. Рассмотрим решения, представляющие собой сумму падающей продольной волны, в которой смещения являются вещественными частями функций комплексного переменного, и двух отраженных волн того же типа, продольной и поперечной.

Переставим в этом решении При этом оно, конечно, останется решением уравнений упругости в отсутствии массовых сил, удовлетворяющим граничным условиям и условиям совместности.

Вместо падающей волны, которая распространяется от источника колебаний, мы получим волну, сбегающуюся к этому источнику, которую будем называть обратно падающей. Вместо отраженных волн, мы получим две волны, которые обратно переходят в сбегающуюся волну. Эти волны назовем обратно отраженными.

Пусть при этом основная обратно падающая волна имеет вид:

где

а определяется уравнением:

Условие (50) прошлого параграфа при этом, очевидно, выполнено. Обратно отраженные волны будут определяться уравнениями:

где функции определяются с помощью формул (57) прошлого параграфа, а функции вычисляются из уравнений:

Границей области возмущения продольной обратно падающей волны будет служить нижняя половина конуса (37) прошлого параграфа. Границей области возмущения продольной обратно отраженной волны будет служить опять нижняя часть конуса (45) того же параграфа.

Границей области возмущения поперечной обратно отраженной волны будет служить огибающая семейства плоскостей, получаемых из (35) подстановкой вместо 68 значений из промежутка

Решение, представляющееся в виде:

мы будем называть первый фундаментальным решением уравнений упругости для полупространотва со свободной границей.

Очевидно, что при функции обращаются в бесконечность.

Это соответствует тону, что первое фундаментальное решение будет иметь особую линию которая отвечает лучу

Второе фундаментальное решение получается также перестановкой и в решении, состоящей падающей поперечной волны и двух отраженных — продольной и поперечной. Это решение будет состоять из обратно падающей поперечной волны и двух обратно отраженных, продольной и поперечной. Возьмем обратно падающую волну в виде:

где

и функции определяются уравнениями:

Обратно падающие волны будут выражаться равенствами:

и

где

и

Функции определяются из формул (86) прошлого параграфа с той же оговоркой относительно областей непрямого возмущения. Решение, в котором:

мы будем называть вторым фундаментальным решением уравнений упругости для полупространства со свободной границей.

Обратно падающая волна дает смещения неравные нулю внутри области, ограниченной нижней половиной конуса (70) предыдущего параграфа. Обратно отраженная продольная волна дает смещения, не уничтожающиеся тождеотвенно внутри области, границей которой олужит огибающая семейства плоскостей, получаемых из (42) подстановкой гначений

Наконец, обратно отраженная поперечная волна дает отличное от нуля возмущение внутри области, границей которой олужит нижняя часть конуса (77)

прошлого параграфа и две плоскости, отделяющие области непрямых возмущении; уравнение которых получается подстановкой

Второе фундаментальное решение, так же как и первое, имеет особую линию,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление