Главная > Физика > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9. Теория точечных источников.

Из физических следствий формул (66) отметим, прежде всего, теорию точечных источников.

С помощью формул (66) мы можем указать, каковы численные выражения потенциалов, введенных в § 3, и указать еще несколько простых примеров точечных источников.

Прежде всего рассмотрим математическое выражение мгновенного импульса, сосредоточенного в данной точке.

Предположим, что мы рассматриваем движение с начальными условиями:

в неограниченном пространстве.

Тогда в формуле (66) выражения будут иметь очень простой, вид:

В раскрытом виде эти выражения записываются так:

Вычислим теперь производные от по и по Отметим, что непосредственно дифференцировать по параметру интегралы, выражающие нельвя, так как получаются не абсолютно сходящиеся интегралы и так как область интегрирования зависит от параметра.

Разобьем внутренний двойной, интеграл в представлении на два слагаемых, вырезав из круга радиуса маленький круг о вокруг с радиусом независящим от Обозначим оставшуюся область буквой

При малом изменении эта точка не выйдет из пределов этого круга и, следовательно, интеграл, взятый по оставшейся области, можно будет дифференцировать по параметру.

Вычислим производную:

Внутренняя граница области С — контур круга не зависит от Внешняя же граница также может быть сделана независящей от него небольшим расширением области интегрирования. Так как подинтегральное выражение уничтожается на этой границе, то, продолжая его нулем, мы, не нарушая его непрерывности, не меняем величины интеграла.

Поэтому мы можем заменить производную от интеграла, интегралом от производной. Мы получим:

Интеграл по кругу о мы преобразуем, разбив на два слагаемых:

Второй член этой суммы представляет собой интеграл от функции, регулярной при

Действительно:

и, следовательно, регулярная функция.

Поэтому производная от этого интеграла при достаточно малом о может быть сделана меньше любого наперед заданного числа.

Первое слагаемое мы перепишем в виде:

Проделывая аналогичные выкладки для остальных производных, получив окончательно ряд формул:

(см. скан)

где сколь угодно малые числа, а область обозначает область, полученную исключением из круга малого круга о радиусом содержащего внутри себя и независящего от

Вспоминая известное свойство логарифмического потенциала:

вычисляя с помощью формул (69) производные от и подставляя в (66), мы получим:

(см. скан)

В формулах (71) полезно несколько изменить порядок интегрирования. Заменим область С через сумму области и кругового кольца и соединим интегралы по С, в один. При этом, как легко убедиться, подинтегральная функция в интеграле, взятом по станет абсолютно интегрируемой, и поэтому станет возможным переход к пределу, при котором область перейдет в круг радиуса После этих преобразований мы получим окончательный результат:

(см. скан)

Формулу (72) можно записать в более кратком виде; условимся считать вектор равным нулю вне области возмущения.

Тогда его можно считать определенным во всем пространстве. При этом формула (72), очевидно, может быть записана в виде:

Пользуясь (73), очень легка решить нашу старую задачу о сосредоточенном импульсе.

Рассмотрим последовательность знакопостоянных функций таких, которые отличны от нуля в малой области трехмерного пространства лежащей при величина которой стремится к нулю при и расстояние всех точек которой от начала координат также сколь угодно мало.

Пусть кроме того

где величины, независящие от Физический смысл их очевиден. Они являются составляющими импульса всех сил, приложенных к упругой среде по осям

Расширяя определение сосредоточенного импульса, данное нами в § 3, мы будем называть решением задачи о сосредоточенном импульсе предел, к которому стремится последовательность решений уравнений теории упругости для неограниченного пространства с нулевыми начальными условиями и массовыми силами

Очевидно

Применяя к интегралам по теорему о среднем получим ввиду непрерывности функций после простого предельного перехода:

где через обозначены значения функций двух пар аргументов: и т. д., при

Формулы (76) дают возможность определить потенциалы и для задачи о сосредоточенном импульсе. Мы получим, очевидно:

Полагая, например, будем иметь:

где

или

где

Формулы (81) дают численный ответ на вопрос, поставленный нами в § 2. Мы не останавливаемся далее на анализе других точечных источников, в которых потенциалы или смещения выражаются однородными функциями нулевой размерности или производными от них. Переходим прямо к рассмотрению одной интересной задачи, решенной впервые Лэмбом, который дал выражение для значений вектора смещения на границе среды.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление